Question

已知反比例函數y=的圖像經過點A(-，1)。
(1) 試確定此反比例函數的解析式；
(2) 點O是坐標原點，將線段OA繞O點順時針旋轉30°得到線段OB。判斷點B是否在此反比例函數的圖像上，并說明理由；
(3) 已知點P(m，m+6)也在此反比例函數的圖像上(其中m<0)，過P點作x軸的垂線，交x軸于點M。若線段PM上存在一點Q，使得△OQM的面積是，設Q點的縱坐標為n， 求n²-2n+9的值。

Answer 1

(1) y= - (2)在，理由見解析(3)8

解：(1) 由題意得1=，解得k= -，
∴反比例函數的解析式為y= -；     …3
(2) 過點A作x軸的垂線交x軸于點C，在Rt△AOC中，OC=，
AC=1，可得OA==2，ÐAOC=30°，由題意，ÐAOB=30°，
OB=OA=2，∴ÐBOC=60°，過點B作x軸的垂線交x軸于點D。
在Rt△BOD中，可得BD=，OD=1，∴B點坐標為(-1，)，…2
將x= -1代入y= -中，得y=，∴點B(-1，)在反比例函 數y= -的圖像上�！�1
(3) 由y= -得xy= -，∵點P(m，m+6)在反比例函數y= -的圖像上，其中m<0 ∴m(m+6)= -，∴m²+2m+1=0，…1
∵PQ^x軸，∴Q點的坐標為(m，n)。
∵△OQM的面積是∴OM´QM=
∵m<0，∴mn= -1，                …1
∴m²n²+2mn²+n²=0，∴n²-2n= -1，∴n²-2n+9=8�！�2
（1）由于反比例函數y=的圖象經過點A(-，1)，運用待定系數法即可求出此反比例函數的解析式；
（2）首先由點A的坐標，可求出OA的長度，∠AOC的大小，然后根據旋轉的性質得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出點B的坐標，進而判斷點B是否在此反比例函數的圖象上；
（3）把點P(m，m+6)代入反比例函數的解析式，得到關于m的一元二次方程；根據題意，可得Q點的坐標為（m，n），再由△OQM的面積是，根據三角形的面積公式及m＜0，得出mn的值，最后將所求的代數式變形，把mn的值代入，即可求出n²-2n+9的值．