Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是半圓O上的一點，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足為D，AD交⊙O于點E，連接CE．

(1)判斷CD與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

(2)若E是弧AC的中點，⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）CD與圓O相切，證明見解析；（2）；

【解析】

（1）只要證明OC∥AD即可解決問題．
（2）只要證明四邊形AECO是菱形，∠DEC=∠DAO=60°，根據S陰影=S△DEC即可解決問題．

(1)CD與圓O相切，理由如下：

∵AC為∠DAB的平分線，

∴∠DAC=∠BAC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

則CD與圓O相切；

(2)連接EB，交OC于F，

∵AB為直徑，

∴∠AEB=90°，

∴EB∥CD，

∵CD與⊙O相切，C為切點，

∴OC⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠EAC=∠ACO，

∵弧AE=弧EC，

∴AE=EC，

∴∠EAC=∠ECA，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠ECA=∠OAC，

∴EC∥OA，

∴四邊形AECO是平行四邊形，

∵OA=OC，

∴四邊形AECO是菱形，

∴AE=EC=OA=OC=2，易知∠DEC=∠DAO=60°，

∴DE=EC=1，DC=DE=

∵點O為AB的中點，∴OF為ΔABE的中位線，

∴OF=AE=1，即CF=DE=1，在RtΔOBF中，根據勾股定理得：EF=FB=DC=，

則．