Question

【題目】在四邊形中，點為邊上的一點，點為對角線上的一點，且.

（1）若四邊形為正方形.

①如圖1，請直接寫出與的數量關系___________；

②將繞點逆時針旋轉到圖2所示的位置，連接，猜想與的數量關系并說明理由；

（2）如圖3，若四邊形為矩形，，其它條件都不變，將繞點順時針旋轉得到，連接，請在圖3中畫出草圖，并直接寫出與的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）①DF=AE，②DF=AE，理由見解析；（2）DF′=AE′.

【解析】

試題分析：（1）①利用正方形的性質得△ABD為等腰直角三角形，則BF=AB，再證明△BEF為等腰直角三角形得到BF=BE，所以BD﹣BF=AB﹣BE，從而得到DF=AE；

②利用旋轉的性質得∠ABE=∠DBF，加上=，則根據相似三角形的判定可得到△ABE∽△DBF，所以=；

（2）先畫出圖形得到圖3，利用勾股定理得到BD=AB，再證明△BEF∽△BAD得到，則=，接著利用旋轉的性質得∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，所以=，然后根據相似三角形的判定方法得到△ABE′∽△DBF′，再利用相似的性質可得=．

試題解析：（1）①∵四邊形ABCD為正方形，∴△ABD為等腰直角三角形，

∴BF=AB，

∵EF⊥AB，∴△BEF為等腰直角三角形，BF=BE，

∴BD﹣BF=AB﹣BE，即DF=AE；

故答案為DF=AE；

②DF=AE．理由如下：

∵△EBF繞點B逆時針旋轉到圖2所示的位置，∴∠ABE=∠DBF，

∵=，=，∴，

∴△ABE∽△DBF，∴=，

即DF=AE；

（2）如圖3，∵四邊形ABCD為矩形，

∴AD=BC=mAB，∴BD==AB，

∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，

∴，∴=，

∵△EBF繞點B順時針旋轉α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，

∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，

∴=，

∴△ABE′∽△DBF′，

∴=，

即DF′=AE′．