Question

（8分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE．

（1）求證：四邊形ACEF是平行四邊形；

（2）當∠B滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形？請回答并證明你的結論．

 

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）∠B=30°，證明見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）易證∠DEC=∠DFA，即可得CE∥AF，根據CE=AF可得四邊形ACEF為平行四邊形；

（2）要使得平行四邊形ACEF為菱形，則AC=CE，又∵CE=AB，∴使得AB=2AC即可，根據AB、AC即可求得∠B的值．

試題解析：（1）∵DE為BC的垂直平分線，∴∠EDB=90°，BD=DC，

又∵∠ACB=90°，∴DE∥AC，∴E為AB的中點，∴在Rt△ABC中，CE=AE=BE，

∴∠AEF=∠AFE，且∠BED=∠AEF，∴∠DEC=∠DFA，∴AF∥CE，

又∵AF=CE，∴四邊形ACEF為平行四邊形；

（2）要使得平行四邊形ACEF為菱形，則AC=CE即可，

∵DE∥AC，∴∠BED=∠BAC，∠DEC=∠ECA，

又∵∠BED=∠DEC，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC，又EB=EC，∴AE=EC=EB，

∵CE=AB，∴AC=AB即可，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴當∠B=30°時，AB=2AC，

故∠B=30°時，四邊形ACEF為菱形．

考點：1．菱形的判定；2．線段垂直平分線的性質；3．平行四邊形的判定．