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(2011•青浦區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A(3,0)、B(1,0)、C(0.3)三點(diǎn),設(shè)該二次函數(shù)的頂點(diǎn)為G.
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式及其圖象的頂點(diǎn)G的坐標(biāo);
(2)求tan∠ACG的值;
(3)如該二次函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)P,x軸上有一點(diǎn)E,問是否存在以A、G、E、P為頂點(diǎn)的平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)由于A(3,0)、B(1,0)、C(0.3)三點(diǎn)在二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象上,直接用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式,然后化為頂點(diǎn)式就可以求出頂點(diǎn)坐標(biāo).
(2)過點(diǎn)G作GH⊥x軸于點(diǎn)H,GF⊥y軸于點(diǎn)F,由勾股定理求出AC、GC、AG從而求得△AGC是直角三角形,從而求得tan∠ACG的值.
(3)當(dāng)AG為邊時(shí),作GH⊥x軸于H,PN⊥x軸于點(diǎn)N,由平行四邊形的性質(zhì)可以得出PE=AG,可以證明PN=GH,可以求出P的坐標(biāo),當(dāng)AG為對(duì)角線時(shí),不存在.
解答:解:(1)∵A(3,0)、B(1,0)、C(0.3)在二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象上,
9a+3b+c=0
a+b+c=0
c=3

解得:
a=1
b=-4
c=3

∴二次函數(shù)的解析式為:y=x2-4x+3,
∴y=(x-2)2-1,
∴頂點(diǎn)G(2,-1).

(2)G作GH⊥x軸于點(diǎn)H,GF⊥y軸于點(diǎn)F,
∵G(2,-1)、A(3,0)、B(1,0)、C(0.3),
∴CF=4,GF=2,GH=1,HA=1,在Rt△GFC、Rt△AOC、Rt△GHA中由勾股定理,得
AC2=18,GC2=20,AG2=2
∴△ACG是直角三角形,且∠CAG=90°,
∴tan∠ACG=
AG
AC
=
1
3



(3)當(dāng)AG為邊時(shí),作GH⊥x軸于H,PN⊥x軸于點(diǎn)N
∴∠PNE=∠GHA=90°
∵四邊形PEGA是平行四邊形,
∴PE=AG,∠PEA=∠GAE,
∴△PNE≌△GHA,
∴PN=GH=1,設(shè)P(m,1)
∴m2-4m+3=1,
∴m=2±
2

∴P(2±
2
,1),
當(dāng)AG為對(duì)角線時(shí),不可能.
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2±
2
,1),
點(diǎn)評(píng):本題是一道二次函數(shù)的綜合試題,考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式,勾股定理及勾股定理的逆定理的運(yùn)用,全等三角形的判定與性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義.
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e
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e
表示
a
-5
e
-5
e

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2
a
1
2
a
米.

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3
3
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a
2
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3
=
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4

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b
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