Question

如圖1的平面直角坐標系中，等腰直角三角形A₀B₁A₁的斜邊A₀A₁落在y軸的正半軸上，A₀A₁=2，點A₀與原點O重合．二次函數y=ax²的圖象恰好經過B₁．
（1）求二次函數的解析式；
（2）在y軸的正半軸依次取點A₂，A₃，A₄，…，A_n，使得以A₁A₂，A₂A₃，A₃A₄，…，A_n-1A_n，為斜邊的等腰直角三角形△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，△A₃B₄A₄，…，△A_n-1B_nA_n的頂點B₂，B₃，B₄，…，B_n分別落在二次函數y=ax²的圖象上（如圖2）．完成下列填空：A₁A₂=

 

，A₂A₃=

 

；
（3）根據（2）觀察分析得到的規律，試寫出A_n-1A_n的長：A_n-1A_n=

 

（用n的代數式表示）．

Answer 1

分析：（1）求拋物線的解析式關鍵是求出B1的坐標，可過B₁作y軸的垂線設垂足為C，根據等腰梯形的性質不難得出B₁C=OC=

1

2

OA₁=1，因此B₁（1，1），將其坐標代入拋物線中即可求出二次函數的解析式．
（2）已知A₁的坐為（0，2），易知直線A₀B₁的解析式為y=x，因此A₁B₂的解析式為y=x+2，聯立拋物線的解析式可求出B₂（2，4），由于A₁B₂⊥A₂B₂，因此直線A₂B₂的解析式可設為y=-x+h，易求得h=6，即A₂的坐標為（0，6），因此A₁A₂=4，同理可求得A₂A₃=6
（3）根據（2）的結果A₀A₁=2，A₁A₂=4，A₂A₃=6，由此不難得出A_n-1A_n=2n．

解答：解：（1）過B₁作B₁C⊥A₀A₁于C．
∵A₁B₁=A₀B₁，
∴A₀C=A₁C=

1

2

A₀A₁=

1

2

×2=1
∵∠A₁B₁A₀=90°
∴B₁C=

1

2

A₀A₁=1
∴B₁的坐標為（1，1）
∵二次函數y=ax²的圖象經過點B₁
∴1=a•1²
∴a=1
∴二次函數的解析式為y=x²

（2）A₁A₂=4，A₂A₃=6；

（3）A_n-1A_n=2n．

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定以及規律性問題等知識，通常先從簡單的例子入手得出一般化的結論，然后根據得出的規律去求特定的值．