Question

如圖，在平面直角坐標中，拋物線的頂點P到x軸的距離是4，與x軸交于0、M兩點，OM=4，矩形ABCD的邊BC在線段OM上，點A、D在拋物線上．
（1）請寫出P、M兩點坐標，并求這條拋物線的解析式；
（2）當矩形ABCD的周長為最大值時，將矩形繞它的中心順時針方向旋轉90°，求點D的坐標；
（3）連接OP，請判斷在拋物線上是否存在點Q（除點M外）使△OPQ是等腰三角形？若存在，寫出點Q到y軸的距離；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的頂點P到軸的距離是4，拋物線與x軸相交于O、M兩點，OM=4，知點P的橫坐標是OM的一半，即2；點P的縱坐標是4．點M的坐標是（4，0）．根據點P的坐標可以運用頂點式求函數的解析式，再進一步把點M的坐標代入即可．
（2）設C（x，0），則B（4-x，0），D（x，4x-x²），A（4-x，4x-x²）．分別表示出矩形的長和寬，再進一步根據矩形的周長公式進行計算．然后根據二次函數的最值方法求出x的值，從而得到點A、B、C、D的坐標，再找出矩形ABCD的中心，根據旋轉的性質即可確定點D的坐標；
（3）根據等腰三角形的定義，可以考慮OP當底．當OP是底時，則點Q即為OP的垂直平分線和拋物線的交點，先求出OP的中點E的坐標，設OQ與x軸相交于點E，根據相似三角形對應邊成比例求出OE的長度，也就知道了點F的坐標，然后利用待定系數法求出OP的垂直平分線EF的解析式，與二次函數的解析式聯立求解即可求出點Q的橫坐標，從而點Q到y的距離可得．

解答：解：（1）根據題意，得P（2，4），M（4，0），
設拋物線的解析式為：y=a（x-2）²+4，
過點M（4，0），
則4a+4=0，
解得a=-1，
∴y=-（x-2）²+4=4x-x²；

（2）設C（x，0），
則B（4-x，0），D（x，4x-x²），A（4-x，4x-x²）．
矩形ABCD的周長=2（BC+CD），
=2[（4-2x）+（4x-x²）]=2（-x²+2x+4）=-2（x-1）²+10，
當x=1時，矩形ABCD的周長的最大值=10，
此時，A（3，3），B（3，0），C（1，0），D（1，3），
∴矩形的中心坐標為（2，1.5），
∴2+（3-1.5）=3.5，1.5+（2-1）=2.5，
∴點D的坐標為（3.5，2.5）；

（3）存在．
若OP當底，則點Q即為OP的垂直平分線和拋物線的交點，
如圖，設OP的中點為E，OP的垂直平分線交x軸于點F，過E作EG⊥x軸于點G，
∵P（2，4），
∴點E的坐標是（1，2），G點的坐標是G（1，0），
∴OE=

22+12

=

5

，OG=1，
∵∠EOG=∠EOG，∠OGE=∠OEF=90°，
∴△OEG∽△OFE，
∴

OF

OE

=

OE

OG

，
即

OF

5

=

5

1

，
解得OF=5，
∴點F的坐標為（5，0），
設直線EF的解析式為y=kx+b，
則

k+b=2 5k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴y=-

1

2

x+

5

2

，
∴

y=-x2+4x y=- 1 2 x+ 5 2

，
解得x=

9± 41

4

，
∴點Q到y軸的距離是

9+ 41

4

或

9- 41

4

．

點評：本題考查了待定系數法求函數解析式，相似三角形的判定與性質，二次函數的最值問題，綜合性較強，難度較大，是不可多得的好題．