Question

如圖，AB∥CD，分別探討下面四個圖形中∠APC與∠PAB、∠PCD的關系，
（1）直接寫出四個結論：
①

∠APC=∠PAB+∠PCD

；
②

∠PAB+∠APC+∠PCD=360°

；
③

∠PAB=∠APC+∠PCD

；
④

∠PCD=∠PAB+∠APC

；
（2）請你從所得到的關系中任選一個加以說明．

Answer 1

分析：（1）①過點P作PE∥AB，利用平行線的性質，易得∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD；
②過點P作PE∥AB，利用平行線的性質，易得∠PAB=∠APC+∠1=∠APC+∠PAD；
③延長BA交PC于點E，利用平行線與三角形外角的性質，可求得答案；
④利用平行線與三角形外角的性質，可求得答案．
（2）根據（1）中的結論，求解即可．

解答：解：（1）①∠APC=∠PAB+∠PCD，
過點P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，
∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD；

②∠PAB+∠APC+∠PCD=360°．
過點P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠1+∠PAB=180°，∠2+∠PCD=180°，
∴∠PAB+∠APC+∠PCD=360°；

③∠PAB=∠APC+∠PCD．
延長BA，交PC于點E，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠PCD，
∴∠PAB=∠APC+∠1=∠APC+∠PAD；

④∠PCD=∠PAB+∠APC，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠PCD，
∴∠PCD=∠1=∠APC+∠PCD；
故答案為：①∠APC=∠PAB+∠PCD，②∠PAB+∠APC+∠PCD=360°，③∠PAB=∠APC+∠PCD，④∠PCD=∠PAB+∠APC；

（2）選擇①．
證明：過點P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，
∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD．

點評：此題考查了平行線的性質以及三角形外角的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．