Question

設a₁=3²﹣1²，a₂=5²﹣3²，…，a_n=（2n+1）²﹣（2n﹣1）²（n為大于0的自然數）．
（1）探究a_n是否為8的倍數，并用文字語言表述你所獲得的結論；
（2）若一個數的算術平方根是一個自然數，則稱這個數是“完全平方數”．試找出a₁，a₂，…，a_n，…這一列數中從小到大排列的前4個完全平方數，并指出當n滿足什么條件時，a_n為完全平方數（不必說明理由）．

Answer 1

（1）兩個連續奇數的平方差是8的倍數 （2）n為一個完全平方數的2倍時

試題分析：（1）利用平方差公式，將（2n+1）²﹣（2n﹣1）²化簡，可得結論；
（2）理解完全平方數的概念，通過計算找出規律．
解：（1）∵a_n=（2n+1）²﹣（2n﹣1）²=4n²+4n+1﹣4n²+4n﹣1=8n，（3分）
又n為非零的自然數，
∴a_n是8的倍數．（4分）
這個結論用文字語言表述為：兩個連續奇數的平方差是8的倍數（5分）
說明：第一步用完全平方公式展開各（1），正確化簡（1分）．
（2）這一列數中從小到大排列的前4個完全平方數為16，64，144，256．（7分）
n為一個完全平方數的2倍時，a_n為完全平方數（8分）
說明：找完全平方數時，錯一個扣（1），錯2個及以上扣（2分）．
點評：本題考查了公式法分解因式，屬于結論開放性題目，通過一系列的式子，找出一般規律，考查了同學們的探究發現的能力．