Question

已知f(x)=

2x+b

2x+1+a

是R上奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）對任意正數(shù)x，不等式f[k(log3x)2-2log3x]+f[2(log3x)2+k]＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=0，知b=-1，由f（-1）=-f（1），知a=2，由此能求出a，b的值
（2）原不等式等價(jià)于：k(log3x)2-2log3x＞-2(log3x)2-k，令log₃x=t，則（k+2）t²-2t+k＞0對一切實(shí)數(shù)t恒成立．由此能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）f(x)=

2x+b

2x+1+a

是R上奇函數(shù)，
∴f（0）=0，f（-1）=-f（1），
∵f（0）=0，
∴b=-1，
又∵f（-1）=-f（1），
∴a=2，
此時(shí)f(x)=

2x-1

2(2x+1)

經(jīng)檢驗(yàn)確為奇函數(shù)，
故a=2，b=-1．
（2）∵f(x)=

1

2

-

1

1+2x

∴f(x)在R上單調(diào)遞增，
原不等式等價(jià)于：k(log3x)2-2log3x＞-2(log3x)2-k，
令log₃x=t，
則（k+2）t²-2t+k＞0對一切實(shí)數(shù)t恒成立．
所以

k+2＞0 △=4-4(k+2)k＜0

，
解得k＞

2

-1．

點(diǎn)評：本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查函數(shù)恒成立問題的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．