Question

（2013•廣陽區一模）問題情境：
如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E是射線BC上的一個動點，連結AE并延長，交射線DC于點F，將△ABE沿直線AE翻折，點B坐在點B′處．
自主探究：
（1）當

BE

CE

=1時，如圖1，延長AB′，交CD于點M．
     ①CF的長為

6

；
     ②求證：AM=FM．
（2）當點B′恰好落在對角線AC上時，如圖2，此時CF的長為

6

2

，

BE

CE

=

2

2

．
拓展運用：
 （3）當

BE

CE

=2時，求sin∠DAB′的值．

Answer 1

分析：（1）①利用相似三角形的判定與性質得出FC=AB即可得出答案；
②利用翻折變換的性質得出∠BAF=∠MAF，進而得出AM=FM；
（2）根據翻折變換的性質得出∠BAE=∠MAF，進而得出AM=MF，利用△ABE∽FCE得出答案即可；
（3）根據①如圖1，當點E在線段BC上時，延長AB′交DC邊于點M，②如圖3，當點E在線段BC的延長線上時，延長AD交B′E于點N，分別利用勾股定理求出即可．

解答：解：（1）①當

BE

CE

=1時，
∵AB∥FC，
∴△ABE∽FCE，
∴

BE

EC

=

AB

FC

=1，
∴FC=AB=6，

②證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，
∴∠BAF=∠AFC，
∵△ABE沿直線AE翻折得到△AB′E，
∴∠BAF=∠MAF，
∴∠MAF=∠AFC，
∴AM=FM；

（2）如圖2，
∵當點B′恰好落在對角線AC上時，
∴∠1=∠2，
∵AB∥FC，
∴∠1=∠F，
∴∠2=∠F，
∴AC=FC，
∵AB=BC=6，
∴AC=FC=6

2

，
∵AB∥FC，
∴△ABE∽FCE，
∴

BE

EC

=

AB

FC

=

6

6 2

=

2

2

，

（3）①如圖1，當點E在線段BC上時，延長AB′交DC邊于點M，
∵AB∥CF，
∴△ABE∽△FCE，
∴

BE

CE

=

AB

CF

=2，
∵AB=6，
∴CF=3，
∴DF=CD+CF=9，
由（1）知：AM=FM，
∴AM=FM=9-DM，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：DM′=（9-DM）²-6²，
解得：DM=

5

2

，則MA=

13

2

，
∴sin∠DAB′=

DM

AM

=

5

13

，
②如圖3，當點E在線段BC的延長線上時，延長AD交B′E于點N，
由（1）知：AN=EN，又BE=B′E=12，
∴NA=NE=12-B′N，
在Rt△AB′N中，由勾股定理得：B′N²=（12-B′N）²-6²，
解得：B′N=

9

2

，
AN=

15

2

，
∴sin∠DAB′=

B′N

AN

=

3

5

．
故答案為：6；6

2

，

2

2

．

點評：此題主要考查了翻折變換的性質以及相似三角形的判定與性質和勾股定理等知識，熟練利用相關性質和進行分類討論得出是解題關鍵．