Question

（2013•廣陽區一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=CB，AD=CD，點M位對角線BD（不含點B）上任意一點，△ABE是等邊三角形，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM．
（1）求證：△AMB≌△ENB；
（2）①直接回答：當點M在何處時，AM+CM的值最小？
②當點M在何處時，AM+BM+CM的值最小？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質可得AB=BE，∠ABE=60°，根據旋轉的性質可得MB=NB，∠MBN=60°，然后求出∠MBA=∠NBE，再利用“邊角邊”證明△AMB和△ENB全等即可；
（2）①根據兩點之間線段最短解答；
②連接CE，當點M位于BD、CE的交點處時，AM+BM+CM最小．在圖中標注角，根據“邊邊邊”證明△ABD和△CBD全等，根據全等三角形對應角相等可得∠1=∠2，再求出∠1=∠3，從而得到∠2=∠3，根據旋轉的性質與等邊三角形的三條邊都相等求出BC=BE，根據等邊對等角的性質求出∠4=∠5，然后利用“角邊角”證明△EBN和△CBM全等，根據全等三角形對應邊相等可得BN=BM，根據（1）的結論可得AM=EN，再根據旋轉的性質求出△BMN是等邊三角形，根據等邊三角形的性質求出BM=MN，從而求出AM+BM+CM=EN+MN+CM，最后根據兩點之間線段最短解答．

解答：證明：（1）∵△ABE是等邊三角形，
∴AB=BE，∠ABE=60°，
由旋轉知，MB=NB，∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN，
即∠MBA=∠NBE，
在△AMB和△ENB中，

AB=BE ∠MBA=∠NBE MB=NB

，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；

（2）①根據“兩點之間線段最短”，連接AC，當點M位于BD與AC的交點處時，AM+CM最小；

②連接CE，當點M位于BD、CE的交點處時，AM+BM+CM最小．
理由如下：如圖，連接CE交BD于點M，連接AM，在EM上取一點N，使∠MBN=60°，
在△ABD和△CBD中，

AB=CB AD=CD BD=BD

，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠1=∠2，
∵∠MBN=∠ABE=60°，
∴∠MBN-∠A=∠ABE-∠ABN，
即∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∵AB=BC，AB=BE，
∴BC=BB，
∴∠4=∠5，
在△EBN和△CBM中，

∠2=∠3 BC=BE ∠4=∠5

，
∴△EBN≌△CBM（ASA），
∴BN=BM，
∴此時BN由BM繞點B逆時針旋轉60°得到，
由（1）知：△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，BM=BN，
∴△BMN是等邊三角形，
∴BM=MN，
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM，
∴根據“兩點之間線段最短”可知當點M位于BD、CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長．

點評：本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，以及兩點之間線段最短的性質，先判斷出點M所處的位置是解題的關鍵．