Question

如圖，PQ為圓O的直徑，點B在線段PQ的延長線上，OQ=QB=1，動點A在圓O的上半圓運動（含P、Q兩點），以線段AB為邊向上作等邊三角形ABC．

（1）當線段AB所在的直線與圓O相切時，求△ABC的面積（圖1）；

（2）設∠AOB=α，當線段AB、與圓O只有一個公共點（即A點）時，求α的范圍（圖2，直接寫出答案）；

（3）當線段AB與圓O有兩個公共點A、M時，如果AO⊥PM于點N，求CM的長度（圖3）．

Answer 1

解：（1）連接OA，過點B作BH⊥AC，垂足為H，如圖1所示．

∵AB與⊙O相切于點A，

∴OA⊥AB．

∴∠OAB=90°．

∵OQ=QB=1，

∴OA=1．

∴AB=

=

=．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=AB=，∠CAB=60°．

∵sin∠HAB=，

∴HB=AB•sin∠HAB

=×

=．

∴S_△ABC=AC•BH

=××

=．

∴△ABC的面積為．

（2）①當點A與點Q重合時，

線段AB與圓O只有一個公共點，此時α=0°；

②當線段A₁B所在的直線與圓O相切時，如圖2所示，

線段A₁B與圓O只有一個公共點，

此時OA₁⊥BA₁，OA₁=1，OB=2，

∴cos∠A₁OB==．

∴∠A₁OB=60°．

∴當線段AB與圓O只有一個公共點（即A點）時，

α的范圍為：0°≤α≤60°．

（3）連接MQ，如圖3所示．

∵PQ是⊙O的直徑，

∴∠PMQ=90°．

∵OA⊥PM，

∴∠PDO=90°．

∴∠PDO=∠PMQ．

∴△PDO∽△PMQ．

∴==

∵PO=OQ=PQ．

∴PD=PM，OD=MQ．

同理：MQ=AO，BM=AB．

∵AO=1，

∴MQ=．

∴OD=．

∵∠PDO=90°，PO=1，OD=，

∴PD=．

∴PM=．

∴DM=．

∵∠ADM=90°，AD=A0﹣OD=，

∴AM=

=

=．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=AB=BC，∠CAB=60°．

∵BM=AB，

∴AM=BM．

∴CM⊥AB．

∵AM=，

∴BM=，AB=．

∴AC=．

∴CM=

=

=．

∴CM的長度為．