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如圖,PQ為圓O的直徑,點B在線段PQ的延長線上,OQ=QB=1,動點A在圓O的上半圓運動(含P、Q兩點),以線段AB為邊向上作等邊三角形ABC.

(1)當線段AB所在的直線與圓O相切時,求△ABC的面積(圖1);

(2)設∠AOB=α,當線段AB、與圓O只有一個公共點(即A點)時,求α的范圍(圖2,直接寫出答案);

(3)當線段AB與圓O有兩個公共點A、M時,如果AO⊥PM于點N,求CM的長度(圖3).


解:(1)連接OA,過點B作BH⊥AC,垂足為H,如圖1所示.

∵AB與⊙O相切于點A,

∴OA⊥AB.

∴∠OAB=90°.

∵OQ=QB=1,

∴OA=1.

∴AB=

=

=

∵△ABC是等邊三角形,

∴AC=AB=,∠CAB=60°.

∵sin∠HAB=

∴HB=AB•sin∠HAB

=×

=.

∴SABC=AC•BH

×

=

∴△ABC的面積為

(2)①當點A與點Q重合時,

線段AB與圓O只有一個公共點,此時α=0°;

②當線段A1B所在的直線與圓O相切時,如圖2所示,

線段A1B與圓O只有一個公共點,

此時OA1⊥BA1,OA1=1,OB=2,

∴cos∠A1OB==.

∴∠A1OB=60°.

∴當線段AB與圓O只有一個公共點(即A點)時,

α的范圍為:0°≤α≤60°.

(3)連接MQ,如圖3所示.

∵PQ是⊙O的直徑,

∴∠PMQ=90°.

∵OA⊥PM,

∴∠PDO=90°.

∴∠PDO=∠PMQ.

∴△PDO∽△PMQ.

==

∵PO=OQ=PQ.

∴PD=PM,OD=MQ.

同理:MQ=AO,BM=AB.

∵AO=1,

∴MQ=.

∴OD=.

∵∠PDO=90°,PO=1,OD=,

∴PD=

∴PM=

∴DM=

∵∠ADM=90°,AD=A0﹣OD=,

∴AM=

=

=

∵△ABC是等邊三角形,

∴AC=AB=BC,∠CAB=60°.

∵BM=AB,

∴AM=BM.

∴CM⊥AB.

∵AM=

∴BM=,AB=

∴AC=

∴CM=

=

=

∴CM的長度為


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