Question

如圖△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分別是邊AB、AC上的兩個動點（D不與A、B重合），且保持DE∥BC，以ED為邊，在點A的異側作正方形DEFG．
 
（1）試求△ABC的面積；
（2）當邊FG與BC重合時，求正方形DEFG的邊長；
（3）設AD=x，當△BDG是等腰三角形時，求出AD的長．

Answer 1

（1）12；（2）；（3）AD=或或．

試題分析：（1）過A作AH⊥BC于H，根據等腰三角形三線合一的性質可得BH的長，再根據勾股定理可求得AH的長，最后根據三角形的面積公式求解即可；
（2）設此時正方形的邊長為a，由DE∥BC可得，即可求得結果；
（3）先根據相似三角形的性質表示出DE的長，再分當BD=DG時，當BD=BG時，當BG=DG時，三種情況根據相似三角形的性質求解即可.
（1）過A作AH⊥BC于H，

∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=BC=3，
∵AH²=AB²－BH²
∴AH=4
∴S_△ABC=BC•AH=×6×4=12；
（2）設此時正方形的邊長為a，
∵DE∥BC，
∴，解得a=；
（3）當AD=x時，由△ADE∽△ABC得
即，解得DE=，
當BD=DG時，5-x=，解得x=，
當BD=BG時，，解得x=，
當BG=DG時，，解得x=，
∴當△BDG是等腰三角形時，AD=或或．
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．