Question

已知：如圖，菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點，BE=DF．
（1）求證：AE=AF；
（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求證：△AEF為等邊三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件證明△ABE≌△ADF，根據全等三角形的性質可得到AE=AF；
（2）連接AC，根據有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形即可得證．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF；
（2）連接AC，
∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，
∴AB=AC=AD．
∵AB=BC=CD=DA，
∴△ABC和△ACD都是等邊三角形．
∴∠CAE=∠BAE=30°，∠CAF=∠DAF=30°．
∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°
又∵AE=AF，
∴△AEF是等邊三角形．
點評：本題考查了菱形的性質、全等三角形的判定和性質、垂直平分線的性質以及等腰三角形的判定和性質等邊三角形的判定和性質，題目的綜合性很強，難度中等．