Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=﹣x2+x﹣4與y軸相交于點A，與x軸相交于B和點C（點C在點B的右側，點D的坐標為（4，﹣4），將線段OD沿x軸的正方向平移n個單位后得到線段EF．

（1）當n=　 　時，點E或點F正好移動到拋物線上；

（2）當點F正好移動到拋物線上，EF與CD相交于點G時，求GF的長；

（3）如圖2，若點P是x軸上方拋物線上一動點，過點P作平行于y軸的直線交AC于點M，探索是否存在點P，使線段MP長度有最大值？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）1或2或5；（2） ；（3）存在點P（，3），使線段MP長度有最大值為5．

【解析】

（1）分點E與點B重合，點E與點C重合，點F在拋物線上三種情況討論，可求

n的值；

（2）由題意可求直線EF解析式，直線CD解析式，即可求點G坐標，根據兩點距離公式

可求GF的長；

（3）由題意可求直線AC解析式，設點，則點,則可用

t表示PM的長度，根據二次函數的性質可求點P的坐標．

（1）∵拋物線與x軸相交于B和點C

∴

∴x1=1，x2=5

∴點B（1，0），點C（5，0）

當點E與點B重合，則n=1，

當點E與點C重合，則n=5

當點F在拋物線上，則

解得：x1=0（不合題意舍去），x2=6

∴F（6，﹣4）

∴n=6﹣4=2

故答案為：1或2或5

（2）∵點F正好移動到拋物線上

∴n=2

∴點E坐標為（2，0）

∵點E（2，0），點F（6，﹣4）

∴直線EF解析式：y=﹣x+2

∵點C（5，0），點D（4，﹣4）

∴直線CD解析式：y=4x﹣20

設點G（x，y）

∵EF與CD相交于點G

∴

解得：

∴點，

∵點，點F（6，﹣4）

∴

（3）存在點P，使線段MP長度有最大值

∵拋物線與y軸相交于點A，

∴當x=0時，y=﹣4

∴點A（0，﹣4）

∵點A（0，﹣4），點C（5，0）

∴直線AC解析式：

設點設點，則點,

∴

∴當時，PM的最大值為5

∴點P坐標為，

∴存在點P，使線段MP長度有最大值為5．