Question

【題目】如圖，BD是□ABCD的對角線，AB⊥BD，BD=8cm，AD=10cm，動點P從點D出發，以5cm/s的速度沿DA運動到終點A，同時動點Q從點B出發，沿折線BD—DC運動到終點C，在BD、DC上分別以8cm/s、6cm/s的速度運動.過點Q作QM⊥AB，交射線AB于點M，連接PQ，以PQ與QM為邊作□PQMN.設點P的運動時間為t(s)（t>0），□PQMN與□ABCD重疊部分圖形的面積為S（cm2）.

（1）AP=_______cm（同含t的代數式表示）.

（2）當點N落在邊AB上時，求t的值.

（3）求S與t之間的函數關系式.

（4）連結NQ，當NQ與△ABD的一邊平行時，直接寫出t的值.

Answer 1

【答案】（10-5t）

【解析】試題分析：（1）直接得出結論即可；

（2）當點N落在邊AB上時，四邊形PNBQ為矩形，得到△APN∽△ADB，由相似三角形的對應邊成比例解答即可；

（3）分三種情況討論：①當PN在平行四邊形內部時，如圖2，此時，②當N在AB下方，Q在BD上時，此時；③當N在AB下方，Q在DCD上時，此時．

（4）分三種情況討論．①當NQ∥AB時，②當AD∥NQ，且Q在BD上時，③當AD∥NQ，且Q在DC上時．

試題解析：解：（1）（10-5t）；

（2）如圖①，當點N落在邊AB上時，四邊形PNBQ為矩形．∵PN∥DB，∴△APN∽△ADB，∴AP：AD=PN：DB，∴（10－5t）：10=8t：8，120t=80，∴．

（3）分三種情況討論：

a)如圖②，過點P作PE⊥BD于點E，則PE=3t．

當時， ．

b)如圖③，過點P作PE⊥BD于點E，則PE=3t，設PN交AB于點F，則．

當時， ．

c)如圖④，當時，PF=8-4t，FB=3t，PN=DB=QM=8，∴FN=4t，DQ=6(t-1)，∴BM=DQ=6(t-1)．∵∠GBM=∠A，∠DBA=∠GMB，∴△BGM∽△ABD，∴GM：BM=DB：AB，解得：GM=8t-8，∴S=S平行四邊形PNMQ-S△FMN-S△BMG=8（9t-6）－×4t×（9t-6）－×（6t-6）（8t-8）=．

綜上所述：

（4）分三種情況討論．

①當NQ∥AB時，如圖5，過P作PF⊥BD于F，則PF=3t，DF=4t，PN=FQ=BQ=8t，∴BD=8t+8t+4t=8，解得： ．

②當AD∥NQ，且Q在BD上時，如圖6．∵PNQD和PNBQ都是平行四邊形，∴PN=DQ=BQ，∴8t+8t=8，解得： ．

③當AD∥NQ，且Q在DC上時，如圖7，可以證明當Q與C重合，即直線NQ與直線BC重合時，滿足條件，如圖8，此時DQ=AB==6，t==2．

綜上所述： 或或．