Question

【題目】如圖，△ABC中，，，，若點P從點C出發，以每秒1cm的速度沿折線C→A→B→C運動(回到C點后點P停止運動)，設運動時間為t秒()．

（1）若點P點AB邊上，且滿足時，求出此時t的值；

（2）若點P恰好在∠BAC的角平分線上，求出此時t的值；

（3）在運動過程中，當△BCP為等腰三角形時，直接寫出所有滿足條件的t的值．

Answer 1

【答案】（1）6.5s；（2）s；（3）6.5s或6s或5.4s或3s．

【解析】

（1）根據題意，，，，可得AC=4cm，當P點在AB邊上，且滿足時，則t=4+計算即可；

（2）當點P恰好在∠BAC的角平分線上時，做PD⊥AB于D，則PD=CP，利用三角形面積，代入數據計算即可得；

（3）當△BCP為等腰三角形時，分情況討論：①當CP=BP時；②當CB=BP時；③當CP=CB時，分別計算即可．

（1）∵，，，

∴根據勾股數可知AC=4cm，

∵P點在AB邊上，且滿足時，

∴PA=AB=cm，

又∵點P的速度是每秒1cm，

∴t=4+=6.5（s）；

故答案為：6.5s；

（2）過點P作PD⊥AB于D，如圖所示，

∵點P恰好在∠BAC的角平分線上，

∴PD=PC，

又t=3+4+5-CP，

由，可得

×3×4=×4×CP+×5×PD，

∴CP=，

∴t=3+4+5-=（s），

故答案為：s；

（3）當△BCP為等腰三角形時，

①當CP=BP時，點P在BC的垂直平分線上，作PD⊥BC于D，如下圖所示：

∴點D是BC的中點，PD是△ABC的中位線，

∴點P是AB的中點，AP=BP=AB=2.5cm，

∴t=6.5s；

②當CB=BP時，點P在AB上，如下圖所示：

∴BP=CB=3cm，

∴t=4+5-3=6（s），

故答案為：6s；

③CP=CB時，如下圖所示：

點P在AB上，或者點在AC上兩種情況，

若CP=CB時，過點C作CE⊥AB于E，

由等面積法求得CE=2.4cm，

在Rt△BEC中，由勾股定理得，

BE=1.8cm，BP=2BE=3.6cm，

∴t=4+5-3.6=5.4（s），

若C=CB時，則t=C=3s，

故答案為：5.4s或3s；

綜上所述，當△BCP為等腰三角形時，滿足條件的t值為：6.5或6s或5.4s或3s；

故答案為：6.5s或6s或5.4s或3s．