Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經過A（﹣1，0）、C（0，3）、B（2，3）

（1）求拋物線的解析式；

（2）線段AB上有一動點P，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點Q，求線段PQ的最大值；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在點M，使△ABM為直角三角形？如果存在，求出點M的坐標；如果不存在，說明理由（4個坐標）．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）當x＝時，線段PQ的長度最大，最大值為；（3）拋物線的對稱軸上存在點M（1，﹣2）或（1，4）或（1，）或（1，），使△ABM為直角三角形

【解析】

（1）把點A、B、C的坐標代入拋物線解析式，利用待定系數法求二次函數解析式即可；

（2）設直線AB的解析式為y＝kx+b（k≠0），然后利用待定系數法求出直線解析式，再表示出PQ，然后利用二次函數的最值求解即可；

（3）求出拋物線對稱軸為直線x＝1，然后分①AB是直角邊時，寫出以點A為直角頂點的直線AM的解析式，然后求解即可，再寫出以點B為直角頂點的直線BM的解析式，然后求解即可，②AB是斜邊時，設點M的坐標為（1，m），然后利用勾股定理列方程求出m的值，再寫出點M的坐標即可．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經過A（﹣1，0）、C（0，3）、B（2，3），

∴，解得，

所以，拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）設直線AB的解析式為y＝kx+b（k≠0），

，

則，解得，

所以，直線AB的解析式為y＝x+1，

設點P的橫坐標為x，

∵PQy軸，

∴點Q的橫坐標為x，

∴PQ＝（﹣x2+2x+3）﹣（x+1），

＝﹣x2+x+2，

＝﹣（x﹣）2+，

∵點P在線段AB上，

∴﹣1≤x≤2，

∴當x＝時，線段PQ的長度最大，最大值為；

（3）由（1）可知，拋物線對稱軸為直線x＝1，

①AB是直角邊時，若點A為直角頂點，

設直線AM的解析式為y＝﹣x+c，

將點代入得，

，解得

∴直線AM的解析式為y＝﹣x﹣1，

當x＝1時，y＝﹣1﹣1＝﹣2，

此時，點M的坐標為（1，﹣2），

若點B為直角頂點，

設直線BM的解析式為y＝﹣x+m，

將點代入得，

，解得

∴直線BM的解析式為y＝﹣x+5，

當x＝1時，y＝﹣1+5＝4，

此時，點M的坐標為（1，4），

②AB是斜邊時，設點M的坐標為（1，m），

則AM2＝（﹣1﹣1）2+m2＝4+m2，BM2＝（2﹣1）2+（m﹣3）2＝1+（m﹣3）2，

由勾股定理得，AM2+BM2＝AB2，

所以，4+m2+1+（m﹣3）2＝（﹣1﹣2）2+（0﹣3）2，

整理得，m2﹣3m﹣2＝0，

解得m＝，

所以，點M的坐標為（1，）或（1，），

綜上所述，拋物線的對稱軸上存在點M（1，﹣2）或（1，4）或（1，）或（1，），使△ABM為直角三角形．