Question

12．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，點P在直線BC上運動，并且PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，CF⊥AB于點F，請在以下不同圖形中討論：線段PD，PE，CF之間存在什么數量關系？證明你的觀點，在討論過程中，你發現了什么規律，能用一句話概括出來嗎？

Answer 1

分析 連接AP，當點P在底邊BC上時，根據等腰三角形的性質可表示出S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP=$\frac{1}{2}$×AC×（PD+PE），同時可表示出S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC×BF，從而可得到PD+PE=BF．，當點P在底邊的延長線上時，根據S_△APB=S_△ABC+S_△ACP進行推理，證法同（1）．

解答 解：①如圖1，連接AP．

∵AB=AC，
∴S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP=$\frac{1}{2}$AB×PD+$\frac{1}{2}$AC×PE=$\frac{1}{2}$×AB×（PD+PE），
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×CF，
∴PD+PE=CF．
②如圖2，連接AP
∵AB=AC，
∴S_△APB=S_△ABC+S_△ACP=$\frac{1}{2}$AB×CF+$\frac{1}{2}$AC×PE=$\frac{1}{2}$×AB×（CF+PE），
∵S_△APB=$\frac{1}{2}$AB×PD，
∴CF+PE=PD，即PD-PE=CF；
③如圖3，連接AP，
∵AB=AC，
∴S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP=$\frac{1}{2}$AB×PD+$\frac{1}{2}$AC×PE=$\frac{1}{2}$×AB×（PD+PE），
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×CF，
∴PD+PE=CF．
④如圖4，連接AP，
∵AB=AC，
∴S_△APB=S_△ABC+S_△ACP=$\frac{1}{2}$AB×CF+$\frac{1}{2}$AC×PE=$\frac{1}{2}$×AB×（CF+PE），
∵S_△APB=$\frac{1}{2}$AB×PD，
∴CF+PE=PD，即PD-PE=CF；
⑤如圖5，連接AP，
∵AB=AC，
∴S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP=$\frac{1}{2}$AB×PD+$\frac{1}{2}$AC×PE=$\frac{1}{2}$×AB×（PD+PE），
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×CF，
∴PD+PE=CF．
⑥如圖6，連接AP，
∵AB=AC，
∴S_△APB=S_△ABC+S_△ACP=$\frac{1}{2}$AB×CF+$\frac{1}{2}$AC×PE=$\frac{1}{2}$×AB×（CF+PE），
∵S_△APB=$\frac{1}{2}$AB×PD，
∴CF+PE=PD，即PD-PE=CF；
得出規律：，無論等腰三角形是銳角三角形、鈍角三角形或直角三角形，
當點P在等腰三角形的地邊上時，點P到兩腰的距離之和等于一腰上的高；
當點P在底邊的延長線上時，點P到兩腰的距離之差等于一腰上的高．

點評 此題主要考查等腰三角形的性質及三角形面積的綜合運用，此題的關鍵是利用面積公式將所求聯系在一起．