Question

如圖，△ABC的邊BC的中垂線DF交△BAC的外角平分線AD于D，F為垂足，DE⊥AB于E，且AB＞AC，求證：BE-AC=AE．

Answer 1

分析：作DG⊥AC，連接BD、CD，易證△ADE≌△ADG，得AE=AG，只要再證明△BED≌△CGD，即可得到；

解答：證明：作DG⊥AC，連接BD、CD，
∵AD是外角∠BAG的平分線，DE⊥AB，
∴∠DAE=∠DAG，
則在△ADE與△ADG中，

∠DEA=∠DGA ∠EAD=∠GAD AD=AD

∴△ADE≌△ADG（AAS），
∴AE=AG，
∵DF是BC的中垂線，
∴BD=CD，
∴在Rt△BED和Rt△CGD中，

DE=DG BD=CD

，
∴Rt△BED≌Rt△CGD（HL），
∴BE=CG=AC+AG，AG=AE，
∴BE-AC=AE．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質和角平分線的性質，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力，作輔助線構建全等三角形，是解答本題的關鍵．