Question

【題目】如圖，在中，為直徑，為弦．過延長線上一點，作于點，交于點，交于點，是的中點，連接，．

（1）判斷與的位置關系，并說明理由；

（2）若，，，求的長．

Answer 1

【答案】與相切；理由見解析；（2）；

【解析】

（1）連接OC，如圖，利用圓周角定理得到∠ACB=90°，再根據斜邊上的中線性質得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接著證明∠1+∠2=90°，從而得到∠OCM=90°，然后根據直線與圓的位置關系的判斷方法可判斷CM為⊙O的切線；

（2）先證明∠G=∠A，再證明∠EMC=∠4，則可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先計算出CE，再計算出EF，然后計算ME﹣EF即可．

（1）CM與⊙O相切．理由如下：

連接OC，如圖，∵GD⊥AO于點D，∴∠G+∠GBD=90°．

∵AB為直徑，∴∠ACB=90°．

∵M點為GE的中點，∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1．

∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴CM為⊙O的切線；

（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，∴∠1=∠5，而∠1=∠G，∠5=∠A，∴∠G=∠A．

∵∠4=2∠A，∴∠4=2∠G，而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，∴∠EMC=∠4，而∠FEC=∠CEM，∴△EFC∽△ECM，∴==，即==，∴CE=4，EF=，∴MF=ME﹣EF=6﹣=．