Question

6．已知：拋物線y=-x²-2x+3與x軸相交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，頂點為P．
（1）求A、B、P三點的坐標；
（2）在直角坐標系內畫出拋物線簡圖，求出S_△ACP；
（3）已知點M是拋物線上的一個動點，且在第二象限內，當△ACM的面積最大時，求出此時點M的坐標和△ACM的最大面積．

Answer 1

分析 （1）根據與x軸的交點坐標即y=0時，求出x的值，根據頂點式求出頂點坐標，即可解答；
（2）畫出圖形，根據S_△ACP=S_{長方形AOEF}-S_△AOC-S_△PEC-S_△AFP，即可解答；
（3）由函數的解析式畫出大致圖象，當-2＜x＜0或-3＜x≤-2時，如圖1、2，設△ACM的面積為S，M（x，-x²-2x+3）（x＜0），作ME⊥y軸，就有ME=-x，OE=-x²-2x+3，由三角形的面積公式和梯形的面積公式就可以求出結論．

解答 解：（1）當y=0時，-x²-2x+3=0，
解得：x₁=-3，x₂=1，
∵點A在點B左側，
∴點A（-3，0），點B（1，0），
當x=0時，y=3，
∴點C的坐標為（0，3），
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴點P的坐標為（-1，4）；
（2）如圖1，

∵點A（-3，0），點B（1，0），點P的坐標為（-1，4），
∴AO=3，OC=3，OP=4，
∴S_△ACP=S_{長方形AOEF}-S_△AOC-S_△PEC-S_△AFP
=3×4-$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$×1×1-$\frac{1}{2}$×4×2
=3．
（3）設△ACM的面積為S，M（x，-x²-2x+3）（x＜0），作ME⊥y軸
∴ME=-x，OE=-x²-2x+3．
∵y=-x²-2x+3，
∴y=0時，0=-x²-2x+3，
∴x₁=1，x₂=-3．
∵點A在點B左側，
∴OA=3．
如圖2，當-2＜x＜0時，

S₁=$\frac{（-x+3）（-{x}^{2}-2x+3）}{2}$-$\frac{（-{x}^{2}-2x+3-3）（-x）}{2}$-4.5，
=-$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x，
=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴a=-$\frac{3}{2}$＜0，拋物線開口向下，函數有最大值．
∴x=-$\frac{3}{2}$時，S_最大=$\frac{27}{8}$；
∵-2＜x＜0，
x=-2時，S_最大=3
如圖3，當-3＜x≤-2時，

S₂=$\frac{（-x+3）（-{x}^{2}-2x+3）}{2}$+$\frac{-x（3+{x}^{2}+2x-3）}{2}$-$\frac{9}{2}$，
=-$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x，
=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴a=-$\frac{3}{2}$＜0，
∴拋物線的開口向下，在對稱軸的左側S隨x的增大而增大．
∴x=-2時，S_最大=3
∵$\frac{27}{8}$＞3，
∴x=-$\frac{3}{2}$時，S_△ACM最大=$\frac{27}{8}$．
∴M（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
答：M（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）時，S_△ACM最大=$\frac{27}{8}$．

點評 本題考查了二次函數的圖象的性質的運用，三角形的面積公式的運用，梯形的面積公式的運用，拋物線與x軸的交點坐標的運用，分類討論的運用．解答時求出S與x的關系式是關鍵．