Question

（2013•廣陽區一模）某商店以4元/千克的價格購進板栗400千克，對其進行篩選分成甲級板栗與乙級板栗，同時開始銷售．這批板栗銷售結束后，店主從銷售統計中發現：甲級板栗與乙級板栗在銷售過程中每天都有銷量，且在同一天賣完；甲級板栗從開始銷售至銷售的第x天的總銷量y₁（千克）與x的關系為y₁=ax²+bx，且甲級板栗的前三天的銷售量的情況見下表；乙級板栗從開始銷售至銷售的第x天的總銷量y₂（千克）與x的關系如圖所示．（說明：毛利潤=銷售總金額-進貨總金額．這批板栗進貨至賣完的過程中的損耗忽略不計）

x	1	2	3
y1	21	44	69

（1）分別求出y₁、y₂關于x的函數式；
（2）若甲級板栗與乙級板栗分別以8元/千克、6元/千克的零售價出售，則賣完這批板栗獲得的毛利潤是多少元？
（3）問從第幾天起甲級板栗每天銷量比乙級板栗每天的銷量至少多15千克？

Answer 1

分析：（1）根據表中的數據代入y₂=ax²+bx后，得到關于a，b的二元一次方程，從而可求出解．
（2）設甲級板栗和乙級板栗n天售完這批貨，根據兩個關系式和板栗共有400千克可列方程求解．然后用售價-進價，得到利潤．
（3）設第m天甲級板栗每天的銷量比乙級板栗每天的銷量至少多15千克，從而可列出不等式求解．

解答：解：（1）根據表中的數據（1，21），（2，44）代入可得：

a+b=21 4a+2b=44

，
解得：

a=1 b=20

，
∴y₁=x²+20x，
由圖設y2=kx，將x=10，y2=100代入得，100k=100，
∴k=10，
∴y₂=10x；
（2）設甲級板栗和乙級板栗n天售完這批貨．
n²+20n+10n=400，
解得：n₁=10，n₂=-40（舍），
當n=10時，y₁=300，y₂=100，
毛利潤=300×8+100×6-400×6=1400（元），
答：賣完這批板栗獲得的毛利潤是1400元；
（3）設從第m天起甲級板栗的銷量為：（m²+20m）-[（m-1）²+20（m-1）]=2m+19．
第m天乙級板栗的銷售量為：10m-10（m-1）=10
則（2m+19）-10≥15，
解得：m≥3，
答：第3天起甲級板栗每天的銷量比乙級板栗每天的銷量少15千克．

點評：本題考查理解題意的能力，以及用待定系數法求一次函數的解析式，關鍵是根據表格代入數列出二元一次方程組求出a和b，確定函數式，然后根據等量關系和不等量關系分別列方程和不等式求解．