Question

在半徑為4的⊙0中．AB、CD是兩條直徑，M是OB的中點．CM的延長線交⊙0于點E．若DE=

15

，（EM＞MC）．則sin∠EOM的值為（　　）

• A．

  15

  2

• B．

  15

  3

• C．

  15

  4

• D．

  15

  5

Answer 1

分析：根據(jù)圓周角定理及勾股定理可求出CE的長，再由相交弦定理求出EM的長即可，根據(jù)所求EM的長判斷出△OEM為等腰三角形，過E作EF⊥OM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理可求出OF，EF的長，進而求出sin∠EOB的值．

解答：解：∵DC為⊙O的直徑，
∴DE⊥EC
∵DC=8，DE=15
∴EC=

DC2-DE2

=

64-15

=7．
設(shè)EM=x，由于M為OB的中點，
∴BM=2，AM=6
∴AM•MB=x•（7-x），（3分）
即6×2=x（7-x），x²-7x+12=0
解這個方程，得x₁=3，x₂=4
∵EM＞MC
∴EM=4
∵OE=EM=4
∴△OEM為等腰三角形
過E作EF⊥OM，垂足為F，則OF=

1

2

OM=1
∴EF=

OE2-OF2

=

16-1

=

15

∴sin∠EOB=

15

4

．

點評：本題主要考查了圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義、勾股定理的知識點，本題關(guān)鍵根據(jù)已知條件和圖形作好輔助線，結(jié)論就很容易求證了．