Question

【題目】如圖①，在正方形ABCD中，E是線段AB上一動點，點F在AD的延長線上運動，且DF=BE．

（1）求證：CE=CF．
（2）當點E在AB上運動時，在AD上取一點G，使∠GCE=45°，試判斷BE、EG、GD三條線段的數量關系，并加以證明．
（3）若連接圖①中的BD，分別交CE、CG于點M、N，得圖②，試根據（2）中的結論說明以線段BM、MN、DN為三邊構成的是一個什么形狀的三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：在正方形ABCD中，

∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，

∴△CBE≌△CDF，

∴CE=CF

（2）

解：EG=BE+GD

理由：由（1）知△CBE≌△CDF，

∴∠BCE=∠DCF，

∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD

即∠ECF=∠BCD=90°，

又∠GCE=45°，

∴∠GCF=∠GCE=45°，

∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，

∴△ECG≌△FCG，

∴GE=GF

∴GE=GF=DF+GD=BE+GD

（3）

解：如圖，

在GE上取一點H，使GH=GD，

∵△GCE≌△GCF，

∴∠DGN=∠HGN，∠F=∠GEC，

∵GN=GN，

∴△DGN≌△HGN，

∴DN=HN，

∴∠GDN=∠GHN=45°，

∵GE=GF，GD=GH，BE=DF，

∴DF=BE=EH，

∵∠F=∠GEC=∠BEC，∠EM=EM，

∴△BEM≌△HEM，

∴BM=HM，∠EBM=∠EHM=45°，

∴∠NHM=90°

∴線段BM、MN、DN為三邊構成的是一個直角三角形

【解析】（1）由條件直接證明三角形全等就可以得出CE=CF．（2）由條件和（1）的結論可以證明三角形ECG全等三角形FCG，可以得出EG=FG，可以得出GE=BE+GD．（3）先判斷出△DGN≌△HGN得到結論，再判斷出△BEM≌△HEM，最后簡單計算即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解全等三角形的性質的相關知識，掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等，以及對正方形的性質的理解，了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．