Question

【題目】如圖，正方形PQMN在△ABC內，點P在AC上，點Q、M在AB上，N在△ABC內，連接AN并延長交BC于G，過G點作GD∥AB交AC于D，過D、G分別作DE ⊥AB，GF⊥AB，垂足分別為E、F．

（1）求證：DG=GF；

（2）若AB=10，S△ABC=40，試求四邊形DEFG的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）

【解析】

（1）根據相似三角形的判定定理，證得△AMN∽△AFG，△APN∽△ADG，再根據相似三角形的對應邊成比例可得，，根據正方形的性質判斷PN＝NM，進而求證DG＝GF；

（2）如圖，過點C作△ABC的高CI分別交DG、AB于點H、I，根據三角形的面積公式求出CI，由題（1）證得四邊形DEFG是正方形，根據正方形的性質可得DE＝EF＝FG＝DG，DE⊥AB，GF⊥AB，再設正方形DEFG的邊長為x，根據三角形的面積公式求出S△CDG、S△ADE、S△BFG，根據正方形的面積公式可得：S正方形DEFG，由S△ABC＝S△CDG＋S△ADE＋S△BFG＋S正方形DEFG可列關于x的方程，解方程即可求得x，進而可求四邊形DEFG的面積．

（1）∵DE⊥AB，GF⊥AB，GD∥AB

∴DE⊥DG，GF⊥DG

∴∠DEF＝∠EFG＝∠DGF＝∠EDG＝90°

∴四邊形DGFE是矩形，

∵四邊形PQME是正方形，

∴∠NMQ＝90°，NM⊥AB，PN＝NM

∴NM∥GF

∴△AMN∽△AFG

∴

同理可得：

∴

∵PN＝NM

∴GF＝DG

（2）如圖，過點C作△ABC的高CI分別交DG、AB于點H、I，

易知CI⊥AB，CH⊥DG

∵AB=10，S△ABC=40，

∴CI＝8，

由（1）知：四邊形DEFG是矩形，且GF＝DG

∴四邊形DEFG是正方形

∴DE＝EF＝GF＝DG＝HI，DE⊥AB，GF⊥AB，

設DE＝EF＝GF＝DG＝HI＝x，

則CH＝CI－HI＝8－x，AE＋BF＝AB－EF＝10－x，

∴S△CDG＝ DG·CH＝，

S△ADE＝ AE·DE＝，S△BFG＝ BF·GF＝，

S正方形DEFG＝，

∴S△ADE＋S△BFG＝＝，

∵S△CDG＋S△ADE＋S△BFG＋S正方形DEFG＝S△ABC＝40，

∴＋＋＝40，

整理得：，

解得：，

∴S四邊形DEFG ＝＝