Question

將長為1，寬為a的長方形紙片（

1

2

＜a＜1）如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于長方形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的長方形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復操作下去，若在第n次操作后剩下的矩形為正方形，則操作終止．
（1）第一次操作后，剩下的矩形兩邊長分別為______；（用含a的代數式表示）
（2）若第二次操作后，剩下的長方形恰好是正方形，則a=______；
（3）若第三次操作后，剩下的長方形恰好是正方形，試求a的值．

Answer 1

（1）∵長為1，寬為a的長方形紙片（

1

2

＜a＜1），
∴第一次操作后剩下的矩形的長為a，寬為1-a；

（2）∵第二次操作時正方形的邊長為1-a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為1-a，2a-1，
此時矩形恰好是正方形，
∴1-a=2a-1，
解得a=

2

3

；

（3）第二次操作后，剩下矩形的兩邊長分別為：1-a與2a-1．
①當1-a＞2a-1時，
由題意得：（1-a）-（2a-1）=2a-1，
解得：a=

3

5

．
當a=

3

5

時，1-a＞2a-1．所以，a=

3

5

是所求的一個值；
②當1-a＜2a-1時，
由題意得：（2a-1）-（1-a）=1-a，
解得：a=

3

4

．
當a=

3

4

時，1-a＜2a-1．所以，a=

3

4

是所求的一個值；
所以，所求a的值為

3

5

或

3

4

；
故答案為（1）a與1-a；（2）

2

3

．