Question

20．在Rt△ABC中，點O為斜邊AB的中點，D、E分別在邊AC、BC上，若CB=6，CA=8，高CH=$\frac{24}{5}$，則OD+DE+EO的最小值為10．

Answer 1

分析 如圖，作點O關于AC的對稱點O′，點O關于BC的對稱點O″，連接O′O″．因為△ODE的周長=OD+DE+OE=O′D+DE+EO″，根據兩點直徑線段最短，可知當O′、D、E、O″共線時，△ODE的周長最小，最小值為O′O″，求出O′O″即可．

解答 解：如圖，作點O關于AC的對稱點O′，點O關于BC的對稱點O″，連接O′O″．

∵△ODE的周長=OD+DE+OE=O′D+DE+EO″，
根據兩點直徑線段最短，可知當O′、D、E、O″共線時，△ODE的周長最小，最小值為O′O″，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，根據對稱性可知，O′、C、O″共線，
∵AO=OB，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴O′O″=2OC=10．
∴OD+DE+EO的最小值為10，
故答案為10．

點評 本題考查軸對稱-最短問題、勾股定理、直角三角形斜邊中線性質等知識，解題的關鍵是學會利用對稱解決最短問題，屬于中考常考題型．