Question

【題目】如圖，直線l1：y=mx+4m與x軸負半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點．

（1）如圖（1），當OA=OB時，求直線l1的解析式；

（2）如圖（2），當m取不同的值時，點B在y軸正半軸上運動，分別以OB、AB為腰，點B為直角頂點在第一、二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，連接EF交y軸于點P，試猜想PB的長是否為定值？若是，求出其值；若不是，說明理由．

（3）m取不同的值時，點B在y軸正半軸上運動，以AB為腰，點B為直角頂點在第二象限作等腰直角△ABD，滿足條件的動點D在直線l2上運動，直線l2與x軸和y軸分別交于F、H兩點，若直線l1將△OHF分成面積比為m：1的兩部分，求此時直線l1和直線l2的解析式．

Answer 1

【答案】（1）y=x+4；（2）PB的長為定值，理由見解析；（3）直線l1的解析式為：y=x+6-2，直線l2的解析式為：y=-x+4

【解析】

（1）由直線解析式，求出A與B坐標，根據OA=OB，求出m的值，即可確定出直線L解析式；

（2）過點E作EG⊥y軸于G點，先證明△ABO≌△EGB，從而得到BG=4，然后證明△BFP≌△GEP，從而得到BP=GP=BG；

（3）如圖③，由A（-4，0），B（0，4m），得到OA=BG=4，DG=OB=4m，得到點D（-4m，4m+4），于是求得直線的解析式為：根據三角形的面積公式列方程即可得到結論．

解：（1）∵直線l1：y=mx+4m與x軸負半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點，

∴A（-4，0），B（0，4m），

由OA=OB，得4m=4，m=1，

∴直線解析式為：y=x+4；

（2）PB的長為定值．

理由：如圖②所示：過點E作EG⊥y軸于G點．

∵△AEB為等腰直角三角形，

∴AB=EB，∠ABO+∠EBG=90°．

∵EG⊥BG，

∴∠GEB+∠EBG=90°．

∴∠ABO=∠GEB．

在△ABO和△EGB中，，

∴△ABO≌△EGB．（AAS）

∴BG=AO=4，OB=EG

∵△OBF為等腰直角三角形，

∴OB=BF

∴BF=EG．

在△BFP和△GEP中，，

∴△BFP≌△GEP．（AAS）

∴BP=GP=BG=2是定值；

（3）如圖③，

∵A（-4，0），B（0，4m），

由（2）證得OA=BG=4，DG=OB=4m，

∴OG=OB+BG=4m+4，

∴點D（-4m，4m+4），

∵動點D在直線y=-x+4上運動，

∴直線l2的解析式為：y=-x+4，

∴F（4.0），H（0，4），

∴S△OHF=×4×4=8，

設直線l1和直線l2的交點為K，

解得，，

∴K（，），

∵直線l1將△OHF分成面積比為m：1的兩部分，

∴當S△HBK：S四邊形OFKB=m：1時，

S△HBK=（4-4m）=8×，

解得：m=，m=，

當S△HBK：S四邊形OFKB=1：m時，

S△HBK=（4-4m）=8×，

解得：m=2，m=0，

∵4m＜4，且m≠0，

∴m=，

∴直線l1的解析式為：y=x+6-2．