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(2007•咸寧)如圖,在平面直角坐標系xoy中,已知矩形ABCD的邊AB、AD分別在x軸、y軸上,點A與坐標原點重合,且AB=2,AD=1.
操作:將矩形ABCD折疊,使點A落在邊DC上.
探究:
(1)我們發現折痕所在的直線與矩形的兩邊一定相交,那么相交的情形有幾種請你畫出每種情形的圖形;(只要用矩形草稿紙動手折一折你會有發現的!)
(2)當折痕所在的直線與矩形的邊OD相交于點E,與邊OB相交于點F時,設直線的解析式為y=kx+b.
①求b與k的函數關系式;
②求折痕EF的長(用含k的代數式表示),并寫出k的取值范圍.

【答案】分析:(1)此題可以首先確定兩種特殊情況:一是當點A和點D重合時,則折痕即為OD的垂直平分線;二是點A和點C重合時,則折痕是AC的垂直平分線.根據這兩種特殊情況,其它的只能位于這兩種折痕之間.
(2)令y=0,得x=-,令x=0,得y=b,
①如圖,設A折疊后與M點重合,M的坐標為(m,1),證明△EOF∽△MDO,根據相似三角形的對應邊成比例得到,則OE=b,OF=-,DM=m,OD=1,這樣就可以用b,k表示m,然后在Rt△EDM中就可以得到k,b的關系式;
②在Rt△OEF中根據勾股定理可以用k的代數式表示了.
解答:解:(1)

(2)令y=0,得x=-,令x=0,得y=b,
∴E(0,b),F (-,0),
①如圖設A折疊后與M點重合,M的坐標為(m,1),連接EM,根據折疊知道EF⊥OM,而MD⊥OD,
∴△EOF∽△MDO,
,而OE=b,OF=-,DM=m,OD=1,
代入比例式中得到m=-k,在Rt△EDM中,EM2=ED2+DM2,而根據折疊知道OE=EM,
∴b2=(1-b)2+(-k)2
∴b=
②在Rt△OEF中,EF2=OE2+OF2
∴EF==b
∵k<0,
∴EF=-
∵OE=b<1,OF=-<2,
∴-1<k<-2.
點評:此題比較復雜,把折疊的問題放在一次函數的圖象的背景中,將代數和幾何知識結合起來解題,對學生的要求比較高.
練習冊系列答案
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(3)若方程組:的解是求a的值,并判斷該方程組是否符合(2)中的規律.

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A.4:1
B.:1
C.1
D.1:4

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