Question

如圖，⊙O的弦AB、CD交于點P，AB=CD．求證：OP平分∠BPD．

Answer 1

分析：連接OB、OD，過O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，求出BM=DN，根據勾股定理求出OM=ON，根據角平分線性質求出即可．

解答：證明：
連接OB、OD，過O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
則由垂徑定理得：BM=

1

2

AB，DN=

1

2

CD，
∵AB=CD，
∴BM=DN，
由勾股定理得：OM²=OB²-BM²，ON²=OD²-DN²，
∵OB=OD，BM=DN，
∴OM=ON，
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴OP平分∠BPD．

點評：本題考查了垂徑定理，勾股定理，角平分線性質的應用，注意：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上．