Question

某化妝品店老板到廠家選購A、B兩種品牌的化妝品，若購進A5套，B6套，需要950元，若購進A3套，B2套，需要450元． 已知銷售1套A獲利30元，銷售1套B獲利20元，老板決定購進B比購進A的2倍還多4套，而且B最多購進40套，化妝品全部出售后獲利不低于1200元．
（1）求出A，B兩種品牌的化妝品每套進價分別是多少？
（2）請問共有哪幾種進貨方案？如何進貨才能使成本最省？

Answer 1

分析：（1）設A種品牌的化妝品每套進價為x元，B種品牌的化妝品每套進價為y元．根據“若購進A5套，B6套，需要950元，若購進A3套，B2套，需要450元”，列出方程組即可求解；
（2）先設A種品牌的化妝品購進m套，則B種品牌的化妝品購進（2m+4）套．然后根據“B最多可購進40套”得到不等式2m+4≤40，根據“化妝品全部出售后獲利不低于1200元”列出不等式30m+20（2m+4）≥1200，聯立兩個不等式組成不等式組，解不等式組求出進貨方案，然后分別計算出各種方案的成本，比較即可．

解答：解：（1）設A種品牌的化妝品每套進價為x元，B種品牌的化妝品每套進價為y元．
由題意，得

5x+6y=950 3x+2y=450

，
解得

x=100 y=75

．
答：A、B兩種品牌得化妝品每套進價分別為100元，75元；

（2）設A種品牌得化妝品購進m套，則B種品牌得化妝品購進（2m+4）套．
根據題意得：

2m+4≤40 30m+20(2m+4)≥1200

，
解得16≤m≤18．
∵m為正整數，
∴m=16、17、18，
∴當m=16時，2m+4=36，此時成本為：16×100+36×75=4300（元）；
當m=17時，2m+4=38，此時成本為：17×100+38×75=4550（元）；
當m=18時，2m+4=40，此時成本為：18×100+40×75=4800（元）．
答：共有三種進貨方案：
（1）A種品牌得化妝品購進16套，B種品牌得化妝品購進36套．
（2）A種品牌得化妝品購進17套，B種品牌得化妝品購進38套．
（3）A種品牌得化妝品購進18套，B種品牌得化妝品購進40套．
其中按照方案（1）進貨能使成本最省．

點評：此題主要考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，抓住關鍵描述語，進而找到所求的量的關系式是解決問題的關鍵，注意第二問應求得整數解．