Question

（1）如圖1，ABCD是一個正方形花園，要在邊AD、DC的E、H處開兩個門，且DE=CH，要修建兩條小路BE、AF．那么這兩條小路長度和位置各有什么關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，在（1）的圖形中，如果要在正方形四邊E、H、F、G處各開一個門，并用小路EF、HG連接起來，如果EF⊥GH，求的值；
（3）把（2）中的正方形改為矩形，如圖3，AB=a，AD=b，其它條件不變，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）關(guān)鍵正方形的性質(zhì)就可以求出AE=DH，進(jìn)而可以得出△ABE≌△DAH，再由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
（2）如圖2，作EN⊥BC于N，交GH于點Q，GM⊥CD于M，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出△EFN≌△GHM，就可以得出EF=GH，從而得出結(jié)論；
（3）如圖3，作EN⊥BC于N，交GH于點Q，GM⊥CD于M，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出△EFN∽△GHM，就可以得出，從而得出結(jié)論；
解答：解：（1）BE=AH，BE⊥AH
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠D=90°．
∵DE=CH，
∴AD-DE=CD-CH，
即AE=DH．
∵在△ABE和△DAH中
，
∴△ABE≌△DAH（SAS），
∴∠AEB=∠AHD．BE=AH，
∵∠DAH+∠AHD=90°，
∴∠DAH+∠AEB=90°．
∴∠AFE=90°
∴AH⊥BE．
∴BE、AH這兩條小路長度和位置分別是BE=AH，BE⊥AH；

（2）如圖2，作EN⊥BC于N，交GH于點Q，GM⊥CD于M，
∴∠GMH=∠ENF=90°，AD=GM，EN=CD
∴∠EFN+∠NEF=90°，∠MHG+∠HGM=90°．
∵EF⊥GH，
∴∠EQH=90°．
∴∠EPQ+∠PEQ=90°，∠MGQ+∠EPG=90°，
∴∠PEQ=∠MGQ．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴GM=EN．
在△ENF和△GMH中，
，
∴△ENF≌△GMH，
∴EF=GH，
∴=1；

（3）如圖3，作EN⊥BC于N，交GH于點Q，GM⊥CD于M，
∴∠GMH=∠ENF=90°，AD=GM，EN=CD
∴∠EFN+∠NEF=90°，∠MHG+∠HGM=90°．
∵EF⊥GH，
∴∠EQH=90°．
∴∠EPQ+∠PEQ=90°，∠MGQ+∠EPG=90°，
∴∠PEQ=∠MGQ．
∴△ENF∽△GMH，
∴．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵EN⊥BC，GM⊥CD，
∴EN=AB=a，GM=AD=b，
∴．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，本題是一道由特殊到一般的試題，利用相似三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．