Question

【問題】如圖，在正方形ABCD內有一點P，PA=，PB=，PC=1，求∠BPC的度數．

分析根據已知條件比較分散的特點，我們可以通過旋轉變換將分散的已知條件集中在一起，于是將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得到了△BP′A（如圖），然后連結PP′．

解決問題請你通過計算求出圖17-2中∠BPC的度數；

【類比研究】如圖，若在正六邊形ABCDEF內有一點P，且PA=，PB=4，PC=2.

（1）∠BPC的度數為       ；（2）直接寫出正六邊形ABCDEF的邊長為         ．

 

Answer 1

【答案】

【問題】90°；【類比研究】（1）120°；（2）

【解析】

試題分析：【問題】根據旋轉的性質得到∠P′BP=90°，BP′=BP=，P′A=PC=1，∠BP′A=∠BPC，則△BPP′為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得PP′=PB=2，∠BP′P=45°，利用勾股定理的逆定理可得到△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°，則∠BPC=∠BP′A=45°+90°=135°；

【類比研究】把△BPC繞點B逆時針旋轉120°，得到了△BP′A，根據旋轉的性質得到∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，則∠BP′P=∠BPP′=30°，得到P′H=PH，利用含30°的直角三角形三邊的關系得到BH=BP′=2，P′H= BH=2，得到P′P=2P′H=4，再利用勾股定理的逆定理可得到△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°，于是有∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°；過A作AG⊥BP′于G點，利用含30°的直角三角形三邊的關系得到GP′=AP′=1，AG=GP′=，然后在Rt△AGB中利用勾股定理即可計算出AB長．

【問題】得到如圖所示的圖形，

根據旋轉的性質可得PB="P′B," PC=P′A

又因為BC="AB," ∴△PBC≌△P′BA，

∴∠PBC="∠P′BA" ，∠BPC="∠BP′A" , PB= P′B=，

∴∠P′BP=90°，所以△P′BP為等腰直角三角形，

則有P′P=2，∠BP′P=45°．                          

又因為PC=P′A=1，P′P =2，PA=，

滿足P′A²+ P′P²= PA²，由勾股定理的逆定理可知∠AP′P=90°，  

因此∠BPC=∠BP′A=45°+90°=135°．                 

【類比研究】（1）如圖

∵六邊形ABCDEF為正六邊形，

∴∠ABC=120°，

把△BPC繞點B逆時針旋轉120°，得到了△BP′A，

∴∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，

∴∠BP′P=∠BPP′=30°，

過B作BH⊥PP′于H，

∵BP′=BP，

∴P′H=PH，

在Rt△BP′H中，∠BP′H=30°，BP′=4，

∴BH=BP′=2，P′H=BH=2，

∴P′P=2P′H=4，

在△APP′中，AP=2，PP′=4，AP′=2，

∵（2）²=（4）²+2²，

∴AP²=PP′²+AP′²，

∴△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°，

∴∠BP′A=30°+90°=120°，

∴∠BPC=120°，

（2）過A作AG⊥BP′于G點，

∴∠AP′G=60°，

在Rt△AGP′中，AP′=2，∠GAP′=30°，

∴GP′=AP′=1，AG=GP′=，

在Rt△AGB中，GB=GP′+P′B=1+4=5，

即正六邊形ABCDEF的邊長為.

考點：旋轉、正方形的性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理與逆定理，含30°的直角三角形的性質

點評：解題的關鍵是熟練掌握旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．