Question

【問題】如圖17-1，在正方形ABCD內有一點P，PA=，PB=，PC=1，求∠BPC的度數．

分析根據已知條件比較分散的特點，我們可以通過旋轉變換將分散的已知條件集中在一起，于是將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得到了△BP′A（如圖17-2），然后連結PP′．

解決問題請你通過計算求出圖17-2中∠BPC的度數；

類比研究 如圖17-3，若在正六邊形ABCDEF內有一點P，且PA=，PB=4，PC=2.

（1）∠BPC的度數為        ； （2）直接寫出正六邊形ABCDEF的邊長為          ．

 

 

Answer 1

【答案】

解：【解決問題】

根據【分析】中的思路，得到如圖6所示的圖形，

根據旋轉的性質可得PB=P′B, PC=P′A,

又因為BC=AB, ∴△PBC≌△P′BA，

∴∠PBC=∠P′BA ，∠BPC=∠BP′A , PB= P′B=，

∴∠P′BP=90°，所以△P′BP為等腰直角三角形，

則有P′P=2，∠BP′P=45°．                            ……………………2分

又因為PC=P′A=1，P′P =2，PA=，

滿足P′A²+ P′P²= PA²，由勾股定理的逆定理可知∠AP′P=90°，   ……………4分

因此∠BPC=∠BP′A=45°+90°=135°．                   ……………………6分

【類比研究】（1）120°；                              ……………………8分

（2）．                             ……………………10分

參考提示：

（1）仿照【分析】中的思路，將△BPC繞點B逆時針旋轉120°，得到了△BP′A，然后連結PP′．如圖7所示，根據旋轉的性質可得：△PBC≌△P′BA，

△BPP′為等腰三角形，PB= P′B=4，PC=P′A=2，∠BPC=∠BP′A，

∵∠ABC=120°，∴∠PBP′=120°，∠BP′P=30°，

∴求得PP′=，

在△APP′中，∵PA=，PP′=，P′A=2，

滿足P′A²+ P′P²= PA²，所以∠AP′P=90°．

∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°．

（2）延長A P′ 做BG⊥AP′于點G，如圖8所示，

在Rt△P′BG中，P′B=4，∠BP′G=60°，

所以P′G=2，BG=，則AG= P′G +P′A =2+2=4，

故在Rt△ABG中，根據勾股定理得AB=．  

【解析】將△BPC繞點B逆時針旋轉120°，得到了△BP′A，然后連結PP′．如圖7所示，根據旋轉的性質可得：△PBC≌△P′BA，后根據勾股定理得出∠AP′P=90°，從而得出∠BPC=120°；延長A P′ 做BG⊥AP′，構建直角三角形，也是由勾股定理得出AB=。