Question

如圖，以AB為直徑的半圓O交AC于點D，且點D為AC的中點，DE⊥BC于點E，AE交半圓O于點F，BF的延長線交DE于點G．
（1）求證：DE為半圓O的切線；
（2）若GE=1，BF=，求EF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，易得OD為△ABC的中位線，則OD∥BC，由于DE⊥BC，所以DE⊥DO，然后根據切線的判定定理即可得到結論；
（2）由AB為半圓O的直徑得到∠AFB=90°，易證得△BGE∽△EGF，利用可計算出GF，然后在Rt△EGF中利用勾股定理可計算出EF．
解答：（1）證明：連接OD，如圖，
∵AB為半圓O的直徑，D為AC的中點，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥DO，
又∵點D在圓上，
∴DE為半圓O的切線；

（2）解：∵AB為半圓O的直徑，
∴∠AFB=90°，
而DE⊥BC，
∴∠GEB=∠GFE=90°，
∵∠BGE=∠EGF，
∴△BGE∽△EGF
∴，
∴GE²=GF•GB=GF（GF+BF）
∵GE=1，BF=，
∴GF=，
在Rt△EGF中，EF==．
點評：本題考查了圓的切線的判定：過半徑的外端點，與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了勾股定理、圓周角定理以及三角形相似的判定與性質．