Question

如圖，將邊長為2cm的正方形ABCD沿其對角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到△A′B′C′．設平移的距離為x（cm），兩個三角形重疊部分（陰影四邊形）的面積為S（cm²）．
（1）當x=1時，求S的值．
（2）試寫出S與x間的函數關系式，并求S的最大值．
（3）是否存在x的值，使重疊部分的四邊形的相鄰兩邊之比為1：？如果存在，請求出此時的平移距離x；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意可知△ACD和△A′B′C′都為等腰直角三角形，且AD=2，
∴∠A=45°，又由平移可知∠AA′E=90°，
∴△AA′E也為等腰直角三角形，又x=1，
∴A′E=AA′=1，又A′D=2-1=1，
∴S=A′E•A′D=1；

（2）由題意可知△ACD和△A′B′C′都為等腰直角三角形，
∴∠A=45°，又由平移可知∠AA′E=90°，
∴△AA′E也為等腰直角三角形，
∴A′E=AA′=x，又A′D=2-x，
∴S=A′E•A′D=x（2-x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，
當x=1時，S有最大值，其最大值為1；

（3）存在．理由如下：
由題意得到△AA′E和△A′DF都為等腰直角三角形，
∵AA′=x，A′D=2-x，
∴A′E=x，A′F=（2-x），
∴x：（2-x）=1：或x：（2-x）=：1，
解得：x=1或x=，
則當x=1或時，重疊部分的四邊形的相鄰兩邊之比為1：．
分析：（1）由正方形的性質得到△ACD和△A′B′C′都為直角邊為2的等腰直角三角形，從而判定出△AA′E也為等腰直角三角形，得到A′E=AA′=1，從而得到A′D的長，由四邊形的面積公式底乘以高的一半即可求出S；
（2）同理得到A′E=AA′=x，從而得到A′D的長為2-x，由四邊形的面積公式底乘以高的一半即可表示出S，得到S與x成二次函數關系，根據此二次函數為開口向下的拋物線，當x等于頂點橫坐標時，S有最大值為頂點縱坐標；
（3）存在，理由是：由正方形的性質得到△AA′E和△A′DF都為等腰直角三角形，根據直角邊方程為x和2-x，分別表示出鄰邊A′E和A′F，進而表示出兩者之比等于已知的比值，列出關于x的方程，求出方程的解即可得到x的值．
點評：此題考查了正方形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，二次函數的最值，以及平移的性質，是一道代數與幾何的綜合題．解決此類問題的基本思路：（1）借助圖形直觀解題；（2）運用方程、函數思想解題；（3）靈活運用數形結合的思想方法，由形導數，以數促形，綜合運用代數和幾何知識解題．學生作第三問時，注意列方程時兩鄰邊的大小不確定，故列出的方程有兩個，從而得到x有兩解，不要遺漏解．