Question

如圖，△ABC內接于⊙O，且∠ABC=∠C，點D在弧BC上運動．過點D作DE∥BC，DE交AB的延長線于點E，連接BD．
（1）求證：∠ADB=∠E；
（2）求證：AD²=AC•AE．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圓周角定理及平行線的性質不難求解；
（2）由（1）可得∠ADB=∠E，又因為∠BAD為公共角，且AB=AC，易得△ABD∽△ADE，利用相似三角形的性質即可得證．
解答：證明：（1）在△ABC中，
∵∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∵DE∥BC，
∴∠ABC=∠E，
∴∠E=∠C，
又∵∠ADB=∠C，
∴∠ADB=∠E；

（2）由（1）得∠ADB=∠E，
且∠ADB=∠C，
即可得出AB=AC，
又因為∠BAD為公共角，且AB=AC，
易得△ABD∽△ADE，
即有AB：AD=AD：AE，
即有AD²=AB•AE=AC•AE．
即證．
點評：本題主要考查了圓周角定理，切線的判定，平行線的性質和垂徑定理等知識點，正確運用好圓心角、弧和弦的關系是解題的關鍵．