Question

已知：如圖，在△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E．

（1）求證：點D是AB的中點；

（2）判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（3）若⊙O的直徑為18，cosB=，求DE的長．

Answer 1

【考點】切線的判定與性質；勾股定理；圓周角定理；解直角三角形．

【分析】（1）連接CD，由BC為直徑可知CD⊥AB，又BC=AC，由等腰三角形的底邊“三線合一”證明結論；

（2）連接OD，則OD為△ABC的中位線，OD∥AC，已知DE⊥AC，可證DE⊥OC，證明結論；

（3）連接CD，在Rt△BCD中，已知BC=18，cosB=，求得BD=6，則AD=BD=6，在Rt△ADE中，已知AD=6，cosA=cosB=，可求AE，利用勾股定理求DE．

【解答】（1）證明：連接CD，

∵BC為⊙O的直徑，∴CD⊥AB，

又∵AC=BC，

∴AD=BD，即點D是AB的中點．

 

（2）解：DE是⊙O的切線．

證明：連接OD，則DO是△ABC的中位線，

∴DO∥AC，

又∵DE⊥AC，

∴DE⊥DO即DE是⊙O的切線；

 

（3）解：∵AC=BC，∴∠B=∠A，

∴cosB=cosA=，

∵cosB=，BC=18，

∴BD=6，

∴AD=6，

∵cosA=，

∴AE=2，

在Rt△AED中，DE=．

【點評】本題考查了切線的判定與性質，勾股定理，圓周角定理，解直角三角形的運用，關鍵是作輔助線，將問題轉化為直角三角形，等腰三角形解題．