Question

【題目】如圖，拋物線的圖象過點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得△PAC的周長最小，若存在，請求出點P的坐標及△PAC的周長；若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在點M（不與C點重合），使得？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，點，周長為：；（3）存在，點M坐標為

【解析】

（1）由于條件給出拋物線與x軸的交點，故可設交點式，把點C代入即求得a的值，減小計算量．

（2）由于點A、B關于對稱軸：直線對稱，故有，則，所以當C、P、B在同一直線上時，最小．利用點A、B、C的坐標求AC、CB的長，求直線BC解析式，把代入即求得點P縱坐標．

（3）由可得，當兩三角形以PA為底時，高相等，即點C和點M到直線PA距離相等．又因為M在x軸上方，故有．由點A、P坐標求直線AP解析式，即得到直線CM解析式．把直線CM解析式與拋物線解析式聯立方程組即求得點M坐標．

解：（1）∵拋物線與x軸交于點

∴可設交點式

把點代入得：

∴拋物線解析式為

（2）在拋物線的對稱軸上存在一點P，使得的周長最小．

如圖1，連接PB、BC

∵點P在拋物線對稱軸直線上，點A、B關于對稱軸對稱

∵當C、P、B在同一直線上時，最小

最小

設直線BC解析式為

把點B代入得：，解得：

∴直線BC：

∴點使的周長最小，最小值為．

（3）存在滿足條件的點M，使得．

∵S△PAM＝S△PAC

∴當以PA為底時，兩三角形等高

∴點C和點M到直線PA距離相等

∵M在x軸上方

，設直線AP解析式為

解得：

∴直線

∴直線CM解析式為：

解得：（即點C），

∴點M坐標為