Question

（2007•山西）關(guān)于x的二次函數(shù)y=-x²+（k²-4）x+2k-2以y軸為對稱軸，且與y軸的交點(diǎn)在x軸上方．
（1）求此拋物線的解析式，并在下面建立直角坐標(biāo)系畫出函數(shù)的草圖；
（2）設(shè)A是y軸右側(cè)拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB垂直于x軸于點(diǎn)B，再過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DC垂直于x軸于點(diǎn)C，得到矩形ABCD．設(shè)矩形ABCD的周長為l，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，試求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)點(diǎn)A在y軸右側(cè)的拋物線上運(yùn)動時(shí)，矩形ABCD能否成為正方形？若能，請求出此時(shí)正方形的周長；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)槎�次函�?shù)y=-x²+（k²-4）x+2k-2以y軸為對稱軸，所以k²-4=0，即可解出k的值，求出拋物線解析式，并利用描點(diǎn)法畫出圖象；
（2）求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，分矩形在x軸上方和矩形在x軸下方兩種情況，根據(jù)矩形周長公式解答；
（3）假設(shè)能構(gòu)成正方形，根據(jù)正方形邊長相等，列等式解出x的值，若x＞0，則能構(gòu)成正方形，若x＜0，則不能構(gòu)成正方形．
解答：解：
（1）據(jù)題意得：k²-4=0，
∴k=±2．
當(dāng)k=2時(shí)，2k-2=2＞0．
當(dāng)k=-2時(shí)，2k-2=-6＜0（2分）
又∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，
∴k=2．
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2．（1分）

（2）解：令-x²+2=0，得x=±．
當(dāng)0＜x＜時(shí)，A₁D₁=2x，A₁B₁=-x²+2，
∴l(xiāng)=2（A₁B₁+A₁D₁）=-2x²+4x+4（2分）
當(dāng)x＞時(shí)，A₂D₂=2x．
A₂B₂=-（-x²+2）=x²-2．
∴l(xiāng)=2（A₂D₂+A₂B₂）=2x²+4x-4（2分）

（3）當(dāng)0＜x＜時(shí)，令A(yù)₁B₁=A₁D₁，得x²+2x-2=0．
解得x=-1-（舍去），或x=-1+．
將x=-1+代入l=-2x²+4x+4，
得l=8-8（3分）
當(dāng)x＞時(shí)，令A(yù)₂B₂=A₂D₂得：x²-2x-2=0，
解得x=1-（舍去），或x=1+．
代入l=2x²+4x-4，得L=8+8（3分）
綜上，矩形ABCD能成為正方形，
且當(dāng)x=-1時(shí)正方形的周長是8-8，
當(dāng)x=+1時(shí)，周長為8+8（1分）．
點(diǎn)評：解答此題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)的解析式，利用解析式求出各點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式，根據(jù)矩形或正方形的性質(zhì)來解答．值得關(guān)注，（3）為探索性問題，有一定的開放性．