Question

10、P是等邊△ABC內部一點，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5：6：7，所以PA、PB、PC的長為邊的三角形的三個角的大小之比是

2：3：4

．

Answer 1

分析：分析已知條件∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7 5+6+7=18，
∠APB+∠PBC+∠CPA=360°，
$frac{360°}{18};=20°$，
于是∠APB=5×20=100°，
∠BPC=6×20=120°，
∠CPA=7×20=140°，
其次如何用PA、PB、PC組成一個三角形，
觀察圖上條件PA、PB在左邊，PC在右邊，三條射線不會成為三角形，
如果把PB、PA移到右邊來，便可構成以PA、PB、PC為邊的三角形，因此必須移動．

解答：解：如圖所示：
將含有PA、PB邊的三角形△BPA，以B為軸心，順時針方向旋轉60°，
則將△BPA移到△BDC，△BDC∽△BPA，BP=BD DC=PA∠BDC=100°，
因為旋轉60°，所以△BDP為等邊形，等邊三角形，三邊相等，三角相等都是60°，
給我們解題極大方便，因為PD=PB，△PDC即由，
PA、PB、PC構成的三角形∠DPC=120°-60°=60°，
∠PDC=100°-60°=40°，
∠DCP=180°-60°-40°=80°，
40：60：80：=2：3：4，
故選A．
（其實這種解題方法思路是十分清晰的，為了把三條分散的射線構成一個三角形，
自然要把PB、PA所在的△PAB，整體移到PC這一邊，BA移60°到BC和BC重合，P落到D上．
因為移動60°構成了△PBD為等邊形PB=BD=PD，于是△PDC就是PA、PB、PC，構成的三角形，
由于AB=BC，AB與BC重合△ABP≌△BCD，保留了原來已知條件，即BD=BP，DC=PA，
∠BDC=100°移動60°構成的△PBD等邊等角，
于是順理成章的把PB用等長線把PD代替，這樣才能構成△PDC，PD=PB，DC=PA，
∴△PDC為PA、PB、PC三條線段構成的三角形．
已知條件∠BPC=120°，仍然保留∠DPC=120°-60°=60°，
∠BDC=100°仍然保留∠PDC=100°-60°=60°，
∠PCD=180°-60°-40°=80°，
40：60：80：=2：3：4．）

點評：熟練掌握等邊三角形的性質及旋轉的性質，能夠熟練運用旋轉的方法求解一些計算問題．