Question

如圖，P是等邊△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，PC=3，PA=4，PB=5．求AC²．

Answer 1

解：將△BCP繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△ACQ，連接PQ．再過A作CP的延長線的垂線AD，垂足為D，
∴AQ=PB=5，CQ=PC，∠PCQ=60°，
∴△PCQ是等邊三角形，
∴PQ=PC=3，∠QPC=60°，
在△PAQ中，∵PA=4，AQ=5，PQ=3，
∴AQ²=PA²+PQ²，
∴∠APQ=90°，
∴∠APC=∠APQ+∠QPC=150°，
∴∠APD=30°，
在Rt△APD中，AD=PA=2，PD=AP•cos30°=2，
則CD=PC+PD=3+2，
在Rt△ACD中，AC²=AD²+CD²=4+（3+2）²=25+12．
分析：首先將△BCP繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△ACQ，連接PQ．再過A作CP的延長線的垂線AD，垂足為D，易證得△PCQ是等邊三角形，△APQ是直角三角形，則可求得∠APC的度數(shù)，然后可求得∠APD的度數(shù)，在Rt△APD中，即可求得AD與CD的長，繼而求得AC²．
點(diǎn)評：此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．