Question

如圖，P是等邊△ABC內部一點，PC=3，PA=4，PB=5．求AC²．

Answer 1

分析：首先將△BCP繞點C順時針旋轉60°得△ACQ，連接PQ．再過A作CP的延長線的垂線AD，垂足為D，易證得△PCQ是等邊三角形，△APQ是直角三角形，則可求得∠APC的度數，然后可求得∠APD的度數，在Rt△APD中，即可求得AD與CD的長，繼而求得AC²．

解答：解：將△BCP繞點C順時針旋轉60°得△ACQ，連接PQ．再過A作CP的延長線的垂線AD，垂足為D，
∴AQ=PB=5，CQ=PC，∠PCQ=60°，
∴△PCQ是等邊三角形，
∴PQ=PC=3，∠QPC=60°，
在△PAQ中，∵PA=4，AQ=5，PQ=3，
∴AQ²=PA²+PQ²，
∴∠APQ=90°，
∴∠APC=∠APQ+∠QPC=150°，
∴∠APD=30°，
在Rt△APD中，AD=

1

2

PA=2，PD=AP•cos30°=2

3

，
則CD=PC+PD=3+2

3

，
在Rt△ACD中，AC²=AD²+CD²=4+（3+2

3

）²=25+12

3

．

點評：此題考查了等邊三角形的判定與性質、勾股定理的逆定理以及直角三角形的性質．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．