Question

8．如圖，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圓，過點A作⊙O的切線，交CO的延長線于點P，CP交⊙O于點D，若AC=3，則△APC的面積為（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$
• D． $\frac{9}{4}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 連接OA，作AH⊥PC于H，如圖，根據圓周角定理得到∠AOC=2∠B=120°，則利用等腰三角形的性質和三角形內角和得到∠OAC=∠OCA=30°，再利用切線的性質得∠OAP=90°，則∠CAP=120°，所以∠P=30°，利用等腰三角形的性質得PH=CH，然后計算出AH和CH，最后利用三角形面積公式計算．

解答 解：連接OA，作AH⊥PC于H，如圖，則∠AOC=2∠B=120°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°
∵PA為切線，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∴∠CAP=120°，
∴∠P=30°，
∴△PAC為等腰三角形，
∵PH⊥PC，
∴PH=CH，
在Rt△ACH中，AH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，
CH=$\sqrt{3}$AH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴PC=3$\sqrt{3}$，
∴△APC的面積=$\frac{1}{2}$•3$\sqrt{3}$•$\frac{3}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
故選D．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．