Question

如圖，有一座拋物線形拱橋，在正常水位時水面AB的寬為20m，如果水位上升3m時，水面CD的寬是10m．
（1）建立如圖所示的直角坐標系，求此拋物線的解析式；
（2）現有一輛載有救援物資的貨車從甲地出發需經過此橋開往乙地，已知甲地距此橋280km（橋長忽略不計）．貨車正以每小時40km的速度開往乙地，當行駛1小時時，忽然接到緊急通知：前方連降暴雨，造成水位以每小時0.25m的速度持續上漲（貨車接到通知時水位在CD處，當水位達到橋拱最高點O時，禁止車輛通行），試問：如果貨車按原來速度行駛，能否安全通過此橋？若能，請說明理由；若不能，要使貨車安全通過此橋，速度應超過每小時多少千米？

Answer 1

【答案】分析：根據拋物線在坐標系的位置，設拋物線的解析式為y=ax²，設D、B的坐標求解析式；
解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²（a不等于0），橋拱最高點O到水面CD的距離為h米．
則D（5，-h），B（10，-h-3）
∴
解得
∴拋物線的解析式為y=-x²

（2）水位由CD處漲到點O的時間為：1÷0.25=4（小時）
貨車按原來速度行駛的路程為：40×1+40×4=200＜280
∴貨車按原來速度行駛不能安全通過此橋．
設貨車速度提高到x千米/時
當4x+40×1=280時，x=60
∴要使貨車安全通過此橋，貨車的速度應超過60千米/時．
點評：本題考查點的坐標的求法及二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．