Question

【題目】如圖，直線l：y＝﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經過點B．

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內，連接AM、BM，設點M的橫坐標為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數表達式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當S取得最大值時，動點M相應的位置記為點M′．寫出點M′的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S=﹣m2+m，S的最大值為：；（3）M′的坐標為：（，）．

【解析】

（1）利用直線l的解析式求出B點坐標，再把B點坐標代入二次函數解析式即可求出a的值；
（2）連接OM，設M的坐標為（m，-m2+2m+3），然后根據面積關系將△ABM的面積進行轉化；
（3）當S取得最大值時，此時，m=，則y=-m2+2m+3=，即可求解．

（1）令x=0代入y=-3x+3，
∴y=3，
∴B（0，3），
把B（0，3）代入y=ax2-2ax+a+4，
∴3=a+4，
∴a=-1，
∴二次函數解析式為：y=-x2+2x+3；

（2）連接OM，

令y=0代入y=-x2+2x+3，
∴0=-x2+2x+3，
∴x=-1或3，
∴拋物線與x軸的交點橫坐標為-1和3，
∵M在拋物線上，且在第一象限內，
∴0＜m＜3，
令y=0代入y=-3x+3，
∴x=1，
∴A的坐標為（1，0），
由題意知：M的坐標為（m，-m2+2m+3），
S=S四邊形OAMB-S△AOB
=S△OBM+S△OAM-S△AOB
=×m×3+×1×（-m2+2m+3）-×1×3

∴當m=時，S取得最大值 ．

（3）當S取得最大值時，此時，m＝，

則y＝﹣m2+2m+3＝，

故點M′的坐標為：（，）．