Question

如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半徑OA=6．將扇形OAB沿過點B的直線折疊，點O恰好落在上點D處，折痕交OA于點C，求整個陰影部分的周長和面積．

Answer 1

【答案】分析：首先連接OD，由折疊的性質，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，則可得△OBD是等邊三角形，繼而求得OC的長，即可求得△OBC與△BCD的面積，又由在扇形OAB中，∠AOB=90°，半徑OA=6，即可求得扇形OAB的面積與的長，繼而求得整個陰影部分的周長和面積．
解答：解：連接OD．
根據折疊的性質，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，
∴OB=OD=BD，
即△OBD是等邊三角形，
∴∠DBO=60°，
∴∠CBO=∠DBO=30°，
∵∠AOB=90°，
∴OC=OB•tan∠CBO=6×=2，
∴S_△BDC=S_△OBC=×OB×OC=×6×2=6，S_扇形AOB=π×6²=9π，=π×6=3π，
∴整個陰影部分的周長為：AC+CD+BD+=AC+OC+OB+=OA+OB+=6+6+3π=12+3π；
整個陰影部分的面積為：S_扇形AOB-S_△BDC-S_△OBC=9π-6-6=9π-12．
點評：此題考查了折疊的性質、扇形面積公式、弧長公式以及直角三角形的性質．此題難度適中，注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．