Question

如圖，足球場上守門員在O處開出一高球，球從離地面1米的A處飛出（A在y軸上），運動員乙在距O點6米的B處發現球在自己頭的正上方達到最高點M，距地面約4米高．球第一次落地點后又一次彈起．據實驗，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半．
（1）求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表達式．
（2）運動員乙要搶到第二個落點D，他應再向前跑多少米？（取，）

Answer 1

【答案】分析：（1）易得第一次落地時拋物線的頂點，可設所求的函數解析式為頂點式，把（0，1）代入即可求得所求的函數解析式；
（2）易得第二次落地時的拋物線的二次項的系數與第一次落地時拋物線的二次項系數相同，頂點的縱坐標為第一個函數頂點縱坐標的一半，用頂點式設出所求的函數解析式，把C坐標代入后求得第二次落地時的拋物線解析式，讓函數值等于0可得D的橫坐標，減去OB的距離即為跑的距離．
解答：解：（1）如圖，設第一次落地時，
拋物線的表達式為y=a（x-6）²+4．
由已知：當x=0時y=1．
即1=36a+4，
∴a=-．
∴表達式為y=-（x-6）²+4；

（2）由題意得：0=-（x-6）²+4
解得：x₁=4+6≈13，x2=-4+6＜0（舍去），
∴點C坐標為（13，0）．
設第二次落地的拋物線為y=-（x-k）²+2．
將C點坐標代入得：0=-（13-k）²+2．
解得：k₁=13-2＜13（舍去），k₂=6+4+2≈18．
∴y=-（x-18）²+2．
0=-（x-18）²+2．
x₁=18-2（舍去），x₂=18+2≈23，
∴BD=23-6=17（米）．
答：運動員乙要搶到第二個落點D，他應再向前跑17米．
點評：考查二次函數的應用；判斷出2個二次函數的頂點坐標是解決本題的關鍵；用到的知識點為：若二次函數的形狀相同，則二個二次函數的二次項系數相同．